En af de mest anvendte konstanter gennem matematik er tallet pi, der er betegnet med det græske bogstav π. Begrebet pi stammer fra geometri, men dette antal har anvendelser i hele matematik og dukker op i vidtgående fag inklusive statistik og sandsynlighed. Pi har endda opnået kulturel anerkendelse og sin egen ferie med fejringen af Pi-dagsaktiviteter jorden rundt.
Værdien af Pi
Pi er defineret som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Værdien af pi er lidt større end tre, hvilket betyder, at hver cirkel i universet har en omkreds med en længde, der er lidt mere end tre gange dens diameter. Mere præcist har pi en decimalrepræsentation, der begynder 3.14159265... Dette er kun en del af decimaludvidelsen af pi.
Pi-fakta
Pi har mange fascinerende og usædvanlige funktioner, herunder:
- Pi er en irrationel reelt antal. Dette betyder, at pi ikke kan udtrykkes som en brøkdel a / b hvor -en og b er begge heltal. Selvom tallene 22/7 og 355/113 er nyttige til at estimere pi, er ingen af disse fraktioner den sande værdi af pi.
- Da pi er et irrationelt tal, afsluttes eller gentager dens decimaludvidelse sig aldrig. Der er nogle spørgsmål, der vedrører denne decimaludvidelse, såsom: Vises enhver mulig række cifre et eller andet sted i decimaludvidelsen af pi? Hvis enhver mulig streng vises, er dit mobiltelefonnummer et eller andet sted i udvidelsen af pi (men det er også alle andres).
- Pi er et transcendentalt tal. Dette betyder, at pi ikke er nulet for et polynom med heltalskoefficienter. Denne kendsgerning er vigtig, når man udforsker mere avancerede funktioner i pi.
- Pi er geometrisk vigtig, og ikke kun fordi den vedrører en cirkels omkreds og diameter. Dette nummer vises også i formlen for området med en cirkel. Området med en radiuscirkel r er EN = pi r2. Antallet pi bruges i andre geometriske formler, såsom overfladeareal og volumen på en kugle, volumenet af en kegle og volumenet af en cylinder med en cirkulær base.
- Pi vises, når mindst forventet. Overvej for et af mange eksempler på dette den uendelige sum 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Denne sum konvergerer til værdien pi2/6.
Pi i statistik og sandsynlighed
Pi viser overraskende optrædener i hele matematik, og nogle af disse optrædener er i emnerne med sandsynlighed og statistik. Formlen for standard normal distribution, også kendt som klokkekurven, viser tallet pi som en konstant for normalisering. Med andre ord, ved at dividere med et udtryk, der involverer pi, kan du sige, at området under kurven er lig med et. Pi er en del af formlerne til andre sandsynlighedsfordelinger såvel.
En anden overraskende forekomst af pi med sandsynlighed er et århundreder gammelt nålekastningseksperiment. I det 18. århundrede Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon stillede et spørgsmål vedrørende sandsynligheden for at tabe nåle: Start med et gulv med planker af træ med ensartet bredde, hvor linierne mellem hver af plankerne er parallelle med hinanden. Tag en nål med en længde, der er kortere end afstanden mellem plankerne. Hvis du dropper en nål på gulvet, hvad er sandsynligheden for, at den vil lande på en linje mellem to af træplankerne?
Som det viser sig, er sandsynligheden for, at nålen lander på en linje mellem to planker, dobbelt så lang som nålen divideret med længden mellem plankerne gange pi.