En type problem, der er typisk i et indledende statistikforløb, er at finde z-score for en værdi af en normalt fordelt variabel. Efter at have givet grundlaget for dette, vil vi se flere eksempler på udførelse af denne type beregninger.
Årsag til Z-scoringer
Der er et uendeligt antal normale fordelinger. Der er en enkelt standard normal distribution. Målet med beregning af a z - score er at relatere en bestemt normalfordeling til den normale normalfordeling. Standard normalfordeling er blevet studeret godt, og der er tabeller, der giver områder under kurven, som vi derefter kan bruge til applikationer.
På grund af denne universelle anvendelse af standard normalfordeling bliver det en værdig bestræbelse på at standardisere en normal variabel. Alt, hvad denne z-score betyder, er antallet af standardafvigelser, som vi er væk fra gennemsnittet af vores distribution.
Formel
Det formel som vi vil bruge er som følger: z = (x - μ)/ σ
Beskrivelsen af hver del af formlen er:
- x er værdien af vores variabel
- μ er værdien af vores befolknings middelværdi.
- σ er værdien af populationsstandardafvigelsen.
- z er z-Score.
eksempler
Nu vil vi overveje flere eksempler, der illustrerer brugen af z-score formel. Antag, at vi ved om en population af en bestemt race af katte, der har vægte, der normalt er fordelt. Antag endvidere, at vi ved, at gennemsnittet af fordelingen er 10 pund og standardafvigelsen er 2 pund. Overvej følgende spørgsmål:
- Hvad er z-score for 13 pund?
- Hvad er z-score for 6 pund?
- Hvor mange pund svarer til a z-score på 1,25?
For det første spørgsmål tilslutter vi blot x = 13 i vores z-score formel. Resultatet er:
(13 – 10)/2 = 1.5
Dette betyder, at 13 er halvanden standardafvigelse over gennemsnittet.
Det andet spørgsmål er ens. Bare stik x = 6 i vores formel. Resultatet for dette er:
(6 – 10)/2 = -2
Fortolkningen heraf er, at 6 er to standardafvigelser under gennemsnittet.
For det sidste spørgsmål kender vi nu vores z -Score. Til dette problem tilslutter vi z = 1,25 i formlen og brug algebra til at løse for x:
1.25 = (x – 10)/2
Multiplicer begge sider med 2:
2.5 = (x – 10)
Tilføj 10 til begge sider:
12.5 = x
Og så ser vi, at 12,5 pund svarer til en z-score på 1,25.