Hvad er skevheden omkring en eksponentiel distribution?

almindelige parametre til Sandsynlighedsfordeling inkluderer middel- og standardafvigelse. Gennemsnittet giver en måling af centrum, og standardafvigelsen fortæller, hvor spredt distributionen er. Ud over disse velkendte parametre er der andre, der gør opmærksom på andre funktioner end spredningen eller midten. En sådan måling er skævhed. Skewness giver en måde at knytte en numerisk værdi til asymmetrien af ​​en distribution på.

En vigtig distribution, som vi vil undersøge, er den eksponentielle distribution. Vi vil se, hvordan man kan bevise, at skævheden ved en eksponentiel fordeling er 2.

Vi begynder med at angive sandsynlighedsdensitetsfunktionen for en eksponentiel fordeling. Disse fordelinger har hver en parameter, som er relateret til parameteren fra det relaterede Poisson-proces. Vi betegner denne distribution som Exp (A), hvor A er parameteren. Sandsynlighedsdensitetsfunktionen for denne distribution er:

f(x) = e^-x/EN/ A, hvor x er ikke negativ.

Her e er det matematiske konstant e det er cirka 2.718281828. Middel- og standardafvigelsen for den eksponentielle fordeling Exp (A) er begge relateret til parameteren A. Faktisk er middel- og standardafvigelsen begge lige A.

Skewness defineres af et udtryk relateret til det tredje øjeblik om middelværdien. Dette udtryk er den forventede værdi:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Vi erstatter μ og σ med A, og resultatet er, at skejheden er E [X³] / A³ – 4.

Det eneste, der er tilbage, er at beregne det tredje øjeblik om oprindelsen. Til dette er vi nødt til at integrere følgende:

∫^∞₀x³f(x) dx.

Denne integral har en uendelig for en af ​​dens grænser. Således kan det evalueres som en ukorrekt integral af type I. Vi skal også bestemme, hvilken integrationsteknik vi skal bruge. Da funktionen til at integrere er produktet af en polynom og eksponentiel funktion, er vi nødt til at bruge integration efter dele. Denne integrationsteknik anvendes flere gange. Slutresultatet er, at:

E [X³] = 6A³

Vi kombinerer dette derefter med vores tidligere ligning for skævheden. Vi ser, at skævheden er 6 - 4 = 2.

Det er vigtigt at bemærke, at resultatet er uafhængigt af den specifikke eksponentielle distribution, som vi starter med. Skævheden i den eksponentielle fordeling afhænger ikke af værdien af ​​parameter A.

Desuden ser vi, at resultatet er en positiv skævhed. Dette betyder, at fordelingen er skævet til højre. Dette skulle ikke komme som nogen overraskelse, da vi tænker på formen på grafen for sandsynlighedsdensitetsfunktionen. Alle sådanne fordelinger har y-afskærmning som 1 // theta og en hale, der går længst til højre på grafen, svarende til variablenes høje værdier x.

Selvfølgelig skal vi også nævne, at der er en anden måde at beregne skævhed på. Vi kan bruge det øjeblik, der genererer funktionen til den eksponentielle distribution. Den første derivat af øjeblik genererende funktion evalueret til 0 giver os E [X]. Tilsvarende giver det tredje derivat af det øjeblikgenererende funktion, når det evalueres til 0, os E (X³].