Maks og infektionspunkter ved Chi-Square-distribution

Matematisk statistik bruger teknikker fra forskellige matematikgrene til at bevise endeligt, at udsagn vedrørende statistikker er rigtige. Vi vil se, hvordan man bruger beregningen til at bestemme ovennævnte værdier for både den maksimale værdi af chi-square distribution, der svarer til dens tilstand, samt finde bøjningspunktene for fordeling.

Før vi gør dette, vil vi drøfte funktionerne ved maksima og bøjningspunkter generelt. Vi vil også undersøge en metode til maksimal beregning af bøjningspunktene.

For et diskret datasæt er tilstanden den mest forekommende værdi. På et histogram af dataene repræsenteres dette med den højeste bjælke. Når vi først har kendt den højeste bjælke, ser vi på den dataværdi, der svarer til basen for denne søjle. Dette er tilstanden for vores datasæt.

Den samme idé bruges i arbejde med en kontinuerlig distribution. Denne gang for at finde tilstanden ser vi efter den højeste top i distributionen. For en graf over denne fordeling er højden af ​​toppen en y-værdi. Denne y-værdi kaldes et maksimum for vores graf, fordi værdien er større end nogen anden y-værdi. Funktionen er værdien langs den vandrette akse, der svarer til denne maksimale y-værdi.

Selvom vi blot kan se på en graf over en distribution for at finde tilstanden, er der nogle problemer med denne metode. Vores nøjagtighed er kun så god som vores graf, og vi er sandsynligvis nødt til at estimere. Der kan også være vanskeligheder ved at kortlægge vores funktion.

En alternativ metode, der ikke kræver nogen grafering, er at bruge beregningen. Den metode, vi bruger, er som følger:

1. Start med sandsynlighedstæthedsfunktionen f (x) til vores distribution.
2. Beregn det første og det andet derivater af denne funktion: f '(x) og f ''(x)
3. Indstil dette første derivat lig med nul f '(x) = 0.
4. Løs for x.
5. Sæt værdien (e) fra det forrige trin i det andet derivat, og evaluer. Hvis resultatet er negativt, har vi et lokalt maksimum ved værdien x.
6. Evaluer vores funktion f (x) på alle punkter x fra det forrige trin.
7. Evaluer sandsynlighedstæthedsfunktionen på eventuelle slutpunkter for dens understøttelse. Så hvis funktionen har domæne, der er givet ved det lukkede interval [a, b], skal du evaluere funktionen ved slutpunkterne -en og b.
8. Den største værdi i trin 6 og 7 vil være det absolutte maksimum for funktionen. Den x-værdi, hvor dette maksimalt forekommer, er fordelingen tilstand.

Nu gennemgår vi ovenstående trin for at beregne tilstanden af ​​chi-square distribution med r grader af frihed. Vi starter med sandsynlighedstæthedsfunktionen f(x), der vises på billedet i denne artikel.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Her K er en konstant, der involverer gammafunktion og en styrke på 2. Vi behøver ikke at kende detaljerne (men vi kan henvise til formlen på billedet til disse).

Den første derivat af denne funktion gives ved hjælp af produktregel såvel som kæderegel:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Vi sætter dette derivat lig med nul og faktorer udtrykket på højre side:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Siden konstanten K, det eksponentiel funktion og x^{r / 2-1} er alle ikke-nul, kan vi dele begge sider af ligningen med disse udtryk. Vi har derefter:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Multiplicer begge sider af ligningen med 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Således 1 = (r - 2)x^-1og vi afslutter med at have x = r - 2. Dette er punktet langs den vandrette akse, hvor tilstanden forekommer. Det angiver x værdien af ​​toppen af ​​vores chi-square distribution.

Et andet træk ved en kurve handler om den måde, den kurver på. Dele af en kurve kan være konkave op, ligesom en stor bogstav U. Kurver kan også være konkave nede og formet som en vejkryds symbol ∩. Hvor kurven skifter fra konkave ned til konkav op, eller omvendt har vi et bøjningspunkt.

Den anden derivat af en funktion detekterer konkaviteten af ​​grafen for funktionen. Hvis det andet derivat er positivt, er kurven konkave op. Hvis det andet derivat er negativt, er kurven konkave nedad. Når det andet derivat er lig med nul og grafen for funktionen ændrer konkavitet, har vi et bøjningspunkt.

For at finde bøjningspunktene i en graf skal vi:

1. Beregn det andet derivat af vores funktion f ''(x).
2. Indstil dette andet derivat lig med nul.
3. Løs ligningen fra det forrige trin for x.

Nu ser vi, hvordan vi arbejder gennem ovenstående trin til chi-square distribution. Vi begynder med at differentiere. Fra det ovenstående arbejde så vi, at det første derivat for vores funktion er:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Vi differentierer igen ved hjælp af produktreglen to gange. Vi har:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Vi sætter dette lig med nul og deler begge sider med Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Ved at kombinere lignende vilkår har vi:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Multiplicer begge sider med 4x^{3 - r / 2}, dette giver os:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Den kvadratiske formel kan nu bruges til at løse til x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Vi udvider de vilkår, der er taget til 1/2 strøm og ser følgende:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Det betyder at:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Fra dette ser vi, at der er to bøjningspunkter. Desuden er disse punkter symmetriske med hensyn til fordelingenstilstand, da (r - 2) er halvvejs mellem de to bøjningspunkter.

Vi ser, hvordan begge disse funktioner er relateret til antallet af frihedsgrader. Vi kan bruge disse oplysninger til at hjælpe med at tegne en chi-square distribution. Vi kan også sammenligne denne distribution med andre, såsom den normale distribution. Vi kan se, at bøjningspunktene for en chi-kvadratfordeling forekommer forskellige steder end bøjningspunkter for den normale fordeling.