Betydningen af ​​gensidigt eksklusiv i statistikker

I sandsynlighed to begivenheder siges at være gensidigt eksklusivt hvis og kun hvis begivenhederne har ingen delte resultater. Hvis vi betragter begivenhederne som sæt, vil vi sige, at to begivenheder er gensidigt eksklusive, når deres skæringspunkt er tomt sæt. Vi kunne betegne disse begivenheder EN og B er gensidigt udelukket af formlen EN ∩ B = Ø. Som med mange begreber fra sandsynligheden, vil nogle eksempler hjælpe med at give mening om denne definition.

Antag at vi rulle to seks-sidede terninger og tilføj antallet af prikker, der vises oven på terningerne. Begivenheden, der består af "summen er jævn", er gensidigt eksklusiv fra begivenheden "summen er underlig." Årsagen hertil er, at der ikke er nogen mulighed for et tal at være jævnt og underligt.

Nu vil vi udføre det samme sandsynlighedseksperiment med at rulle to terninger og tilføje de viste numre sammen. Denne gang vil vi overveje begivenheden, der består af at have en ulige sum, og begivenheden, der består af at have en sum større end ni. Disse to begivenheder er ikke gensidigt eksklusive.

Årsagen til dette er tydeligt, når vi undersøger resultaterne af begivenhederne. Den første begivenhed har resultater på 3, 5, 7, 9 og 11. Den anden begivenhed har resultater på 10, 11 og 12. Da 11 er i begge disse, er begivenhederne ikke gensidigt eksklusive.

Vi illustrerer yderligere med et andet eksempel. Antag, at vi tegner et kort fra et standarddæk på 52 kort. At tegne et hjerte er ikke gensidigt udelukkende til at trække en konge. Dette skyldes, at der er et kort (kongen af ​​hjerter), der dukker op i begge disse begivenheder.

Der er tidspunkter, hvor det er meget vigtigt at afgøre, om to begivenheder er gensidigt eksklusive eller ikke. At vide, om to begivenheder er gensidigt udelukkende, påvirker beregningen af ​​sandsynligheden for, at den ene eller den anden opstår.

Gå tilbage til korteksemplet. Hvis vi tegner et kort fra et standard 52-kortdæk, hvad er sandsynligheden for, at vi har trukket et hjerte eller en konge?

Først skal du opdele dette i individuelle begivenheder. For at finde sandsynligheden for, at vi har trukket et hjerte, tæller vi først antallet af hjerter i bunken som 13 og derefter divideres med det samlede antal kort. Dette betyder, at sandsynligheden for et hjerte er 13/52.

For at finde sandsynligheden for, at vi har trukket en konge, begynder vi med at tælle det samlede antal konger, hvilket resulterer i fire, og derefter divideres med det samlede antal kort, som er 52. Sandsynligheden for, at vi har trukket en konge, er 4/52.

Problemet er nu at finde sandsynligheden for at tegne enten en konge eller et hjerte. Her skal vi være forsigtige. Det er meget fristende at blot tilføje sandsynlighederne for 13/52 og 4/52 sammen. Dette ville ikke være korrekt, fordi de to begivenheder ikke er gensidigt eksklusive. Kongen af ​​hjerter er blevet talt to gange i disse sandsynligheder. For at modvirke dobbeltoptællingen skal vi trække sandsynligheden for at tegne en konge og et hjerte, som er 1/52. Derfor er sandsynligheden for, at vi enten har trukket en konge eller et hjerte, 16/52.

En formel kendt som tilføjelsesregel giver en alternativ måde at løse et problem som det ovenfor. Tilføjelsesreglen henviser faktisk til et par formler, der er tæt knyttet til hinanden. Vi skal vide, om vores begivenheder er gensidigt eksklusive for at vide, hvilken tilføjelsesformel der er passende at bruge.