Beregning af drejningsmoment med eksempler

Når man studerer, hvordan objekter roterer, bliver det hurtigt nødvendigt at finde ud af, hvordan en given kraft resulterer i en ændring i rotationsbevægelsen. En styrkes tendens til at forårsage eller ændre rotationsbevægelse kaldes drejningsmoment, og det er et af de vigtigste begreber at forstå i løsningen af ​​roterende bevægelsessituationer.

Moment (også kaldet moment - for det meste af ingeniører) beregnes ved at multiplicere kraft og afstand. Det SI-enheder drejningsmoment er Newton-meter eller N * m (selvom disse enheder er de samme som Joules, drejer man ikke drejningsmoment eller energi, så det skulle bare være Newton-meter).

Ved beregninger er drejningsmoment repræsenteret af det græske bogstav tau: τ.

Moment er en vektor kvantitet, hvilket betyder, at den har både en retning og en størrelse. Dette er ærligt en af ​​de vanskeligste dele af at arbejde med drejningsmoment, fordi det beregnes ved hjælp af et vektorprodukt, hvilket betyder, at du skal anvende den højre regel. I dette tilfælde skal du tage din højre hånd og krølle fingrene på din hånd i rotationsretningen forårsaget af styrken. Tommelfingeren på din højre hånd peger nu i retning af drejningsmomentvektoren. (Dette kan lejlighedsvis føles lidt fjollet, når du holder din hånd op og pantomimerer for at gøre det regne ud resultatet af en matematisk ligning, men det er den bedste måde at visualisere retningen på vektor.)

Vektorformlen, der giver momentvektoren τ er:

τ = r × F

Vektoren r er positionsvektoren med hensyn til et oprindelse på rotationsaksen (Denne akse er τ på grafikken). Dette er en vektor med en størrelse på afstanden fra hvor kraften påføres på rotationsaksen. Den peger fra rotationsaksen mod det sted, hvor kraften påføres.

Størrelsen af ​​vektoren beregnes baseret på θ, som er vinkelforskellen mellem r og Fved hjælp af formlen:

τ = rFsynd(θ)

Et par nøglepunkter om ovenstående ligning med nogle benchmarkværdier af θ:

• θ = 0 ° (eller 0 radianer) - Kraftvektoren peger i samme retning som r. Som du måske gætter, er dette en situation, hvor kraften ikke forårsager nogen rotation omkring aksen... og matematikken bærer det ud. Da synd (0) = 0, resulterer denne situation i τ = 0.
• θ = 180 ° (eller π radianer) - Dette er en situation, hvor kraftvektoren peger direkte ind i r. Igen, at bevæge sig mod rotationsaksen vil heller ikke forårsage nogen rotation, og endnu en gang understøtter matematikken denne intuition. Da sin (180 °) = 0, er værdien af ​​drejningsmomentet igen τ = 0.
• θ = 90 ° (eller π/ 2 radianer) - Her er kraftvektoren vinkelret på positionsvektoren. Dette virker som den mest effektive måde, du kan skubbe på objektet på for at få en stigning i rotationen, men understøtter matematikken dette? Nå, sin (90 °) = 1, som er den maksimale værdi, som sinusfunktionen kan nå, hvilket giver et resultat af τ = rF. Med andre ord, en kraft, der påføres i en hvilken som helst anden vinkel, ville give mindre drejningsmoment end når det påføres i 90 grader.
• Det samme argument som ovenfor gælder for tilfælde af θ = -90 ° (eller -π/ 2 radianer), men med en værdi af sin (-90 °) = -1, hvilket resulterer i det maksimale drejningsmoment i den modsatte retning.

Lad os overveje et eksempel, hvor du anvender en lodret kraft nedad, f.eks. Når du prøver at løsne lugmøtrikkerne på et fladt dæk ved at træde på skruenøglen. I denne situation er den ideelle situation at have skruenøglen perfekt vandret, så du kan træde i slutningen af ​​det og få det maksimale drejningsmoment. Desværre fungerer det ikke. I stedet passer skruenøglen på lugmøtrikkerne, så den er i en hældning på 15% til vandret. Slipnøglen er 0,60 m lang indtil slutningen, hvor du bruger din fulde vægt på 900 N.

Hvad er drejningsmomentets størrelse?

Hvad med retning ?: Anvendelse af reglen "venstre-løs, høj-tæthed", vil du have, at lugmøtrikken roterer til venstre - mod uret - for at løsne den. Ved hjælp af højre hånd og krølning af fingrene i retning mod uret stikker tommelfingeren ud. Så drejningsmomentets retning er væk fra dækkene... hvilket også er den retning, du vil have, at lugnødderne i sidste ende skal gå.

For at begynde at beregne værdien af ​​drejningsmomentet, skal du indse, at der er et lidt vildledende punkt i ovenstående opsætning. (Dette er et almindeligt problem i disse situationer.) Bemærk, at de 15%, der er nævnt ovenfor, er hældningen fra vandret, men det er ikke vinklen θ. Vinklen mellem r og F skal beregnes. Der er en 15 ° hældning fra den vandrette plus en 90 ° afstand fra den vandrette til den nedadgående kraftvektor, hvilket resulterer i i alt 105 ° som værdien af θ.

Det er den eneste variabel, der kræver opsætning, så med den på plads tildeler vi bare de andre variabelværdier:

• θ = 105°
• r = 0,60 m
• F = 900 N

τ = rF synd(θ) =
(0,60 m) (900 N) sin (105 °) = 540 × 0,097 Nm = 520 Nm

Bemærk, at ovenstående svar involverede vedligeholdelse af kun to signifikante tal, så det er afrundet.

Ovenstående ligninger er især nyttige, når der er en enkelt kendt kraft, der virker på et objekt, men der er mange situationer, hvor en rotation kan være forårsaget af en kraft, der ikke let kan måles (eller måske mange sådanne kræfter). Her beregnes drejningsmomentet ofte ikke direkte, men kan i stedet beregnes under henvisning til totalen vinkelacceleration, α, at objektet gennemgår. Dette forhold er givet ved følgende ligning:

• Στ - Nettosummen af ​​alt drejningsmoment, der virker på objektet
• jeg - det træghetsmoment, der repræsenterer objektets modstand mod en ændring i vinkelhastighed
• α - vinkelacceleration