Egenskaber ved et reelt tal

Hvad er et tal? Det afhænger godt. Der er en række forskellige slags numre, hver med deres særlige egenskaber. En slags nummer, hvorpå Statistikker, sandsynlighed, og meget af matematik er baseret på, kaldes et reelt tal.

For at lære, hvad et reelt tal er, tager vi først en kort rundvisning i andre slags numre.

Vi lærer først om tal for at tælle. Vi begyndte med at matche numrene 1, 2 og 3 med vores fingre. Derefter fortsatte vi så højt som vi kunne, hvilket sandsynligvis ikke var så højt. Disse tælletal eller naturlige tal var de eneste tal, som vi vidste om.

Senere, når man beskæftiger sig med subtraktion, negativ hele tal blev introduceret. Sættet med positive og negative heltal kaldes sæt med heltal. Kort efter dette blev rationelle tal, også kaldet fraktioner, overvejet. Da hvert helt tal kan skrives som en brøkdel med 1 i nævneren, siger vi, at heltalene danner en undergruppe af de rationelle tal.

Det gamle grækere indså, at ikke alle tal kan dannes som en brøkdel. For eksempel kan kvadratroten af ​​2 ikke udtrykkes som en brøkdel. Disse slags numre kaldes irrationelle tal. Der er mange irrationelle tal, og der er noget overraskende i en vis forstand mere irrationelle tal end rationelle tal. Andre irrationelle tal inkluderer

Hvert reelt tal kan skrives som en decimal. Forskellige typer reelle tal har forskellige typer decimaludvidelser. Den decimale udvidelse af et rationelt antal afsluttes, såsom 2, 3,25 eller 1,2342, eller gentagelse, f.eks .33333.. . Eller .123123123.. . I modsætning til dette er decimaludvidelsen af ​​et irrationelt tal ikke-udryddende og ikke-gentagende. Vi kan se dette i decimaludvidelsen af ​​pi. Der er en uendelig streng med cifre til pi, og derudover er der ingen streng med cifre, der på ubestemt tid gentager sig.

De reelle tal kan visualiseres ved at knytte hver enkelt af dem til et af det uendelige antal punkter langs en lige linje. De reelle tal har en rækkefølge, hvilket betyder, at vi for alle to forskellige reelle tal kan sige, at den ene er større end den anden. Efter konvention svarer det at flytte til venstre på den rigtige tallinje med mindre og mindre tal. At bevæge sig mod højre langs den rigtige tallinje svarer til større og større antal.

De reelle tal opfører sig som andre tal, som vi er vant til at håndtere. Vi kan tilføje, subtrahere, formere og dele dem (så længe vi ikke deler med nul). Rækkefølgen af ​​tilføjelse og multiplikation er vigtig, da der er en kommutativ egenskab. En fordelende egenskab fortæller os, hvordan multiplikation og tilføjelse interagerer med hinanden.

Som nævnt før har de reelle tal en ordre. Givet eventuelle to reelle tal x og y, vi ved, at det eneste af følgende er sandt:

x = y, x < y eller x > y.

Egenskaben, der adskiller de reelle tal fra andre sæt numre, ligesom rationalerne, er en egenskab kendt som fuldstændighed. Fuldstændighed er lidt teknisk at forklare, men den intuitive opfattelse er, at sættet af rationelle tal har huller i det. Sættet med reelle tal har ingen huller, fordi det er komplet.

Som en illustration vil vi se på rækkefølgen af ​​rationelle numre 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Hvert udtryk i denne sekvens er en tilnærmelse til pi opnået ved at afkorte decimaludvidelsen for pi. Betingelserne i denne sekvens kommer nærmere og tættere på pi. Som vi allerede har nævnt, er pi ikke et rationelt antal. Vi er nødt til at bruge irrationelle numre til at tilslutte hullerne i nummerlinjen, der opstår ved kun at overveje de rationelle tal.

Det burde ikke være nogen overraskelse, at der er et uendeligt antal reelle tal. Dette kan ses relativt let, når vi overvejer, at hele tal udgør en undergruppe af de reelle tal. Vi kunne også se dette ved at indse, at talelinjen har et uendeligt antal point.

Det, der er overraskende, er, at uendeligheden, der bruges til at tælle de reelle tal, er af en anden art end den uendelig, der blev brugt til at tælle hele tallene. Hele tal, heltal og rationelle er utallige uendelige. Sættet med reelle tal er utallige uendelige.

Reelle tal får deres navn til at adskille dem fra en endnu mere generalisering af begrebet antal. Det imaginære nummer jeg er defineret til at være kvadratroten af ​​den negative. Ethvert reelt tal ganget med jeg er også kendt som et imaginært nummer. Imaginære tal strækker bestemt vores opfattelse af tal, da de slet ikke er det, vi tænkte på, da vi først lærte at tælle.