En populær måde at studere sandsynligheden på er at rulle terninger. En standard matrice har seks sider trykt med små prikker med nummer 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvis dø er fair (og det vil vi også) antage at alle er), så er hvert af disse resultater lige sandsynligt. Da der er seks mulige resultater, er sandsynligheden for at opnå nogen side af matrisen 1/6. Sandsynligheden for at rulle en 1 er 1/6, sandsynligheden for at rulle en 2 er 1/6, og så videre. Men hvad sker der, hvis vi tilføjer endnu et dø? Hvad er sandsynligheden for at rulle to terninger?
Terningssandsynlighed
For korrekt at bestemme sandsynligheden for en terningkast, skal vi vide to ting:
- Størrelsen af prøve plads eller sæt af samlede mulige resultater
- Hvor ofte en begivenhed opstår
I sandsynlighed, en begivenhed er en bestemt undergruppe af prøveområdet. For eksempel, når kun en matrice rulles, som i eksemplet ovenfor, er prøvelokalet lig med alle værdierne på matricen eller sættet (1, 2, 3, 4, 5, 6). Da matrisen er retfærdig, forekommer hvert tal i sættet kun én gang. Med andre ord er frekvensen for hvert nummer 1. For at bestemme sandsynligheden for at rulle et af numrene på matricen, deler vi begivenhedsfrekvensen (1) med størrelsen på prøveområdet (6), hvilket resulterer i en sandsynlighed på 1/6.
At rulle to fair terninger mere end fordobler vanskeligheden med at beregne sandsynligheder. Dette skyldes, at rulle af en matrice er uafhængig af at rulle en anden. Den ene rulle har ingen indflydelse på den anden. Når vi håndterer uafhængige begivenheder, bruger vi multiplikationsregel. Brugen af et trædiagram viser, at der er 6 x 6 = 36 mulige resultater ved at rulle to terninger.
Antag, at den første dyse, vi ruller, kommer op som en 1. Den anden matrulle kan være en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Antag nu, at den første dør er en 2. Den anden matrulle kan igen være en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi har allerede fundet 12 potentielle resultater og har endnu ikke udtømt alle mulighederne for den første dø.
Sandsynlighedstabel med rullende to terninger
De mulige resultater af rullende to terninger er repræsenteret i nedenstående tabel. Bemærk, at antallet af samlede mulige resultater er lig med prøveområdet for den første matrice (6) multipliceret ved prøverummet for den anden matrice (6), der er 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tre eller flere terninger
Det samme princip gælder, hvis vi arbejder på problemer, der involverer tre terninger. Vi multiplicerer og ser, at der er 6 x 6 x 6 = 216 mulige resultater. Da det bliver besværligt at skrive den gentagne multiplikation, kan vi bruge eksponenter til at forenkle arbejdet. For to terninger er der 62 mulige resultater. For tre terninger er der 63 mulige resultater. Generelt, hvis vi ruller n terninger, så er der i alt 6n mulige resultater.
Prøveproblemer
Med denne viden kan vi løse alle slags sandsynlighedsproblemer:
1. To seks-sidede terninger rulles. Hvad er sandsynligheden for, at summen af de to terninger er syv?
Den nemmeste måde at løse dette problem på er at se tabellen ovenfor. Du vil bemærke, at der i hver række er en terningrulle, hvor summen af de to terninger er lig med syv. Da der er seks rækker, er der seks mulige resultater, hvor summen af de to terninger er lig med syv. Antallet af samlede mulige resultater forbliver 36. Igen finder vi sandsynligheden ved at dele hændelsesfrekvensen (6) med størrelsen på prøveområdet (36), hvilket resulterer i en sandsynlighed på 1/6.
2. To seks-sidede terninger rulles. Hvad er sandsynligheden for, at summen af de to terninger er tre?
I det forrige problem har du måske bemærket, at cellerne, hvor summen af de to terninger er lig med syv, danner en diagonal. Det samme er tilfældet her, bortset fra i dette tilfælde er der kun to celler, hvor summen af terningerne er tre. Det er fordi der kun er to måder at få dette resultat på. Du skal rulle en 1 og en 2, eller du skal rulle en 2 og en 1. Kombinationerne til at rulle en sum af syv er meget større (1 og 6, 2 og 5, 3 og 4 osv.). For at finde sandsynligheden for, at summen af de to terninger er tre, kan vi dele hændelsesfrekvensen (2) med størrelsen på prøveområdet (36), hvilket resulterer i en sandsynlighed på 1/18.
3. To seks-sidede terninger rulles. Hvad er sandsynligheden for, at numre på terningerne er forskellige?
Igen kan vi let løse dette problem ved at se ovenstående tabel. Du vil bemærke, at cellerne, hvor tallene på terningerne er ens, danner en diagonal. Der er kun seks af dem, og når vi først har krydset dem ud, har vi de resterende celler, hvor tallene på terningerne er forskellige. Vi kan tage antallet af kombinationer (30) og dele det med størrelsen på prøveområdet (36), hvilket resulterer i en sandsynlighed på 5/6.