Beregning af den gennemsnitlige absolutte afvigelse

Der er mange målinger af spredning eller spredning i statistikker. Selvom rækkevidde og standardafvigelse bruges mest, er der andre måder at kvantificere spredning. Vi vil se på, hvordan man beregner den gennemsnitlige absolutte afvigelse for et datasæt.

Vi begynder med definitionen af ​​den gennemsnitlige absolutte afvigelse, der også kaldes den gennemsnitlige absolutte afvigelse. Formlen, der vises med denne artikel, er den formelle definition af den gennemsnitlige absolutte afvigelse. Det kan være mere fornuftigt at betragte denne formel som en proces eller række trin, som vi kan bruge til at få vores statistik.

1. Vi starter med en gennemsnit eller måling af centrum, af et datasæt, som vi vil betegne ved m.
2. Dernæst finder vi hvor meget hver af dataværdierne afviger fra m. Dette betyder, at vi tager forskellen mellem hver af dataværdierne og m.
3. Efter dette tager vi absolut værdi af hver af forskellen fra det forrige trin. Med andre ord dropper vi negative tegn for nogen af ​​forskellene. Årsagen til dette er, at der er positive og negative afvigelser fra
   instagram viewer
   m. Hvis vi ikke finder ud af, hvordan vi kan eliminere de negative tegn, annullerer alle afvigelser hinanden, hvis vi tilføjer dem sammen.
4. Nu tilføjer vi alle disse absolutte værdier.
5. Endelig deler vi denne sum med n, som er det samlede antal dataværdier. Resultatet er den gennemsnitlige absolutte afvigelse.

Der er flere variationer til ovennævnte proces. Bemærk, at vi ikke specificerede nøjagtigt hvad m er. Årsagen til dette er, at vi kunne bruge en række statistikker til m. Dette er typisk centrum for vores datasæt, og derfor kan enhver af målingerne af central tendens bruges.

De mest almindelige statistiske målinger af midten af ​​et datasæt er middelværdien, median og tilstanden. Enhver af disse kunne således bruges som m ved beregningen af ​​den gennemsnitlige absolutte afvigelse. Det er derfor, det er almindeligt at henvise til den gennemsnitlige absolutte afvigelse om middelværdien eller den gennemsnitlige absolutte afvigelse om medianen. Vi vil se flere eksempler på dette.

Antag, at vi starter med følgende datasæt:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Gennemsnittet af dette datasæt er 5. Følgende tabel organiserer vores arbejde med at beregne den gennemsnitlige absolutte afvigelse omkring middelværdien.

Vi deler nu denne sum med 10, da der i alt er ti dataværdier. Den gennemsnitlige absolutte afvigelse for gennemsnittet er 24/10 = 2,4.

Nu starter vi med et andet datasæt:

1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.

Ligesom det forrige datasæt er gennemsnittet af dette datasæt 5.

Således er den gennemsnitlige absolutte afvigelse omkring gennemsnittet 18/10 = 1,8. Vi sammenligner dette resultat med det første eksempel. Selvom gennemsnittet var identisk for hvert af disse eksempler, blev dataene i det første eksempel mere spredt. Vi ser fra disse to eksempler, at den gennemsnitlige absolutte afvigelse fra det første eksempel er større end den gennemsnitlige absolutte afvigelse fra det andet eksempel. Jo større gennemsnitlig absolut afvigelse er, jo større er spredningen af ​​vores data.

Start med det samme datasæt som det første eksempel:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Median for datasættet er 6. I den følgende tabel viser vi detaljerne om beregningen af ​​den gennemsnitlige absolutte afvigelse omkring medianen.

Igen deler vi det samlede antal med 10 og opnår en gennemsnitlig gennemsnitlig afvigelse omkring medianen som 24/10 = 2,4.

Start med det samme datasæt som før:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.

Denne gang finder vi, at dette datasæt er 7. I den følgende tabel viser vi detaljerne om beregningen af ​​den gennemsnitlige absolutte afvigelse for tilstanden.

Vi deler summen af ​​de absolutte afvigelser og ser, at vi har en gennemsnitlig absolut afvigelse for tilstanden 22/10 = 2.2.

Der er nogle få grundlæggende egenskaber vedrørende gennemsnitlige absolutte afvigelser

• Den gennemsnitlige absolutte afvigelse omkring medianen er altid mindre end eller lig med den gennemsnitlige absolutte afvigelse om gennemsnittet.
• Standardafvigelsen er større end eller lig med den gennemsnitlige absolutte afvigelse om middelværdien.
• Den gennemsnitlige absolutte afvigelse er undertiden forkortet af MAD. Desværre kan dette være tvetydigt, da MAD skiftevis kan henvise til medianens absolutte afvigelse.
• Den gennemsnitlige absolutte afvigelse for en normal fordeling er cirka 0,8 gange størrelsen på standardafvigelsen.

Den gennemsnitlige absolutte afvigelse har et par anvendelser. Den første anvendelse er, at denne statistik kan bruges til at lære nogle af ideerne bag standardafvigelse. Den gennemsnitlige absolutte afvigelse om gennemsnittet er meget lettere at beregne end standardafvigelsen. Det kræver ikke, at vi kvadratierer afvigelserne, og vi behøver ikke at finde en firkantet rod i slutningen af ​​vores beregning. Desuden er den gennemsnitlige absolutte afvigelse mere intuitivt forbundet med spredningen af ​​datasættet end hvad standardafvigelsen er. Dette er grunden til, at den gennemsnitlige absolutte afvigelse undertiden undervises først, før standardafvigelsen introduceres.

Nogle er gået så langt som at hævde, at standardafvigelsen bør erstattes af den gennemsnitlige absolutte afvigelse. Selvom standardafvigelsen er vigtig for videnskabelige og matematiske anvendelser, er den ikke så intuitiv som den gennemsnitlige absolutte afvigelse. For daglige applikationer er den gennemsnitlige absolutte afvigelse en mere håndgribelig måde at måle, hvor spredte data er.