Hvad er det tomme sæt i sætteori?

Hvornår kan intet være noget? Det virker som et fjollet spørgsmål og ganske paradoksalt. I det matematiske felt med sætteori er det rutine, at intet er noget andet end intet. Hvordan kan dette være?

Når vi danner et sæt uden elementer, har vi ikke længere noget. Vi har et sæt med ingenting i det. Der er et specielt navn på sættet, der ikke indeholder elementer. Dette kaldes det tomme eller nul-sæt.

Definitionen af ​​det tomme sæt er ganske subtil og kræver lidt tanke. Det er vigtigt at huske, at vi tænker på en sæt som en samling af elementer. Selve sættet er forskelligt fra de elementer, det indeholder.

For eksempel ser vi på {5}, som er et sæt, der indeholder elementet 5. Sættet {5} er ikke et tal. Det er et sæt med tallet 5 som et element, hvorimod 5 er et tal.

På en lignende måde er det tomme sæt ikke noget. I stedet er det sættet uden elementer. Det hjælper med at tænke på sæt som containere, og elementerne er de ting, som vi lægger i dem. En tom beholder er stadig en container og er analog med det tomme sæt.

Det tomme sæt er unikt, hvorfor det er helt passende at tale om det tomt sæt, snarere end en tomt sæt. Dette gør det tomme sæt adskilt fra andre sæt. Der er uendeligt mange sæt med et element i dem. Sættene {a}, {1}, {b} og {123} har hver ét element, og derfor svarer de til hinanden. Da elementerne i sig selv er forskellige fra hinanden, er sætene ikke ens.

Der er ikke noget specielt ved, at eksemplerne ovenfor hver har et element. Med en undtagelse, for ethvert tællenummer eller uendelighed, er der uendeligt mange sæt af den størrelse. Undtagelsen er for tallet nul. Der er kun et sæt, det tomme sæt, uden elementer i det.

Det matematiske bevis på dette faktum er ikke vanskeligt. Vi antager først, at det tomme sæt ikke er unikt, at der er to sæt uden elementer i dem, og bruger derefter et par egenskaber fra sætteorien for at vise, at denne antagelse indebærer en modsigelse.

Det tomme sæt betegnes med symbolet ∅, der kommer fra et lignende symbol i det danske alfabet. Nogle bøger henviser til det tomme sæt med dets alternative navn på nullsættet.

Da der kun er et tomt sæt, er det værd at se, hvad der sker, når sættets operationer af skæringspunkt, forening og komplement bruges med det tomme sæt og et generelt sæt, som vi vil betegne ved x. Det er også interessant at overveje delmængden af ​​det tomme sæt, og hvornår er det tomme sæt et undersæt. Disse fakta er samlet nedenfor:

• Det vejkryds af ethvert sæt med det tomme sæt er det tomme sæt. Dette skyldes, at der ikke er nogen elementer i det tomme sæt, og derfor har de to sæt ingen elementer til fælles. I symboler skriver vi x ∩ ∅ = ∅.
• Det Union af ethvert sæt med det tomme sæt er det sæt, vi startede med. Dette skyldes, at der ikke er nogen elementer i det tomme sæt, og derfor tilføjer vi ingen elementer til det andet sæt, når vi danner fagforeningen. I symboler skriver vi x U ∅ = x.
• Det supplere af det tomme sæt er det universelle sæt til den indstilling, vi arbejder i. Dette skyldes, at sættet af alle elementer, der ikke er i det tomme sæt, kun er sættet af alle elementer.
• Det tomme sæt er en undergruppe af ethvert sæt. Dette skyldes, at vi danner delmængder af et sæt x ved at vælge (eller ikke vælge) elementer fra x. En mulighed for en delmængde er at bruge overhovedet ingen elementer fra x. Dette giver os det tomme sæt.