Variansen for en fordeling af en tilfældig variabel er en vigtig funktion. Dette tal angiver spredningen af en distribution, og det findes ved at kvadrere standardafvigelse. Et almindeligt anvendt diskret fordeling er den for Poisson-distributionen. Vi vil se, hvordan man beregner variansen af Poisson-fordelingen med parameter λ.
Poisson-distributionen
Poisson-distributioner bruges, når vi har et kontinuum af en slags og tæller diskrete ændringer inden for dette kontinuum. Dette sker, når vi overvejer antallet af mennesker, der ankommer til en billetdiskstue i løbet af en time, holde styr på antallet af biler, der kører gennem et kryds med et fire-vejs stop eller tæller antallet af fejl, der opstår i en længde af tråd.
Hvis vi laver et par afklarende antagelser i disse scenarier, matcher disse situationer betingelserne for en Poisson-proces. Vi siger så, at den tilfældige variabel, der tæller antallet af ændringer, har en Poisson-fordeling.
Poisson-distributionen refererer faktisk til en uendelig distributionsfamilie. Disse fordelinger er udstyret med en enkelt parameter λ. Parameteren er en positiv
reelt antal det er tæt forbundet med det forventede antal ændringer observeret i kontinuummet. Desuden vil vi se, at denne parameter ikke kun er den betyde af distributionen men også variationen i distributionen.Sandsynlighedsmassefunktionen for en Poisson-distribution er givet ved:
f(x) = (λxe-λ)/x!
I dette udtryk, brevet e er et tal og er den matematiske konstant med en værdi, der er omtrent lig med 2.718281828. Variablen x kan være et hvilket som helst ikke-negativ heltal.
Beregning af variationen
For at beregne middelværdien af en Poisson-distribution bruger vi denne distribution øjeblik genererende funktion. Vi ser det:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Vi husker nu Maclaurin-serien til eu. Da ethvert derivat af funktionen eu er eu, alle disse derivater evalueret ved nul giver os 1. Resultatet er serien eu = Σ un/n!.
Ved brug af Maclaurin-serien til eu, kan vi udtrykke det øjeblik, der genererer funktion ikke som en serie, men i en lukket form. Vi kombinerer alle termer med eksponenten for x. Dermed M(t) = eλ(et - 1).
Vi finder nu variationen ved at tage den anden derivat af M og evaluere dette ved nul. Siden M’(t) =λetM(t), bruger vi produktreglen til at beregne det andet derivat:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Vi vurderer dette på nul og finder det M’’(0) = λ2 + λ. Vi bruger derefter det faktum, at M'(0) = λ for at beregne variansen.
Var (x) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Dette viser, at parameteren λ ikke kun er middelværdien af Poisson-fordelingen, men også dens varians.