Hvad er de konverse, kontrapositive og inverse?

Betingede udsagn viser sig overalt. I matematik eller andre steder tager det ikke lang tid at løbe ind i noget af formen ”Hvis P derefter Q.” Betingede udsagn er faktisk vigtige. Det, der også er vigtigt, er udsagn, der er relateret til den oprindelige betingede erklæring ved at ændre positionen P, Q og negering af en erklæring. Startende med en original erklæring, ender med tre nye betingede udsagn, der kaldes converse, contrapositive og inverse.

Inden vi definerer det omvendte, kontrapositive og inverse af en betinget erklæring, er vi nødt til at undersøge emnet negation. Hver erklæring i logik er enten sandt eller falsk. Negering af en erklæring indebærer simpelthen indsættelse af ordet "ikke" i den rigtige del af erklæringen. Tilføjelsen af ​​ordet "ikke" gøres, så det ændrer udsagnets sandhedsstatus.

Det vil hjælpe med at se på et eksempel. Udsagnet “The højre trekant er ligesidet ”har negation“ Den rigtige trekant er ikke ligesidet. ” Negationen af ​​"10 er et jævnt tal" er udsagnet "10 er ikke et jævnt tal." Naturligvis til dette sidste eksempel kunne vi bruge definitionen på et ulige tal og i stedet sige, at "10 er et ulige tal." Vi bemærker, at sandheden i en erklæring er det modsatte af den negation.

Vi vil undersøge denne idé i en mere abstrakt ramme. Når erklæringen P er sandt, udsagnet ”ikke P”Er falsk. Tilsvarende, hvis P er falsk, dens negation “ikkeP" er sandt. Negationer betegnes ofte med en tilde ~. Så i stedet for at skrive “ikke P”Vi kan skrive ~P.

Nu kan vi definere det konverserede, det kontrapositive og det inverse af en betinget erklæring. Vi starter med den betingede erklæring “Hvis P derefter Q.”

• Konversationen af ​​den betingede erklæring er “Hvis Q derefter P.”
• Den kontrapositive af den betingede erklæring er “Hvis ikke Q så ikke P.”
• Den inverse af den betingede erklæring er “Hvis ikke P så ikke Q.”

Vi vil se, hvordan disse udsagn fungerer med et eksempel. Antag, at vi starter med den betingede erklæring "Hvis det regnede i går aftes, er fortovet vådt."

• Samtalen til den betingede erklæring er "Hvis fortovet er vådt, regnede det i går aftes."
• Den kontrapositive af den betingede erklæring er "Hvis fortovet ikke er vådt, regnede det ikke i går aftes."
• Det inverse af den betingede erklæring er "Hvis det ikke regnede i går aftes, er fortovet ikke vådt."

Vi kan undre os over, hvorfor det er vigtigt at danne disse andre betingede udsagn fra vores oprindelige. Et omhyggeligt kig på ovenstående eksempel afslører noget. Antag, at det originale udsagn ”Hvis det regnede i går aftes, er fortovet vådt”, er sandt. Hvilke af de andre udsagn skal også være rigtige?

• Samtalen ”Hvis fortovet er vådt, regnede det i går aftes” er ikke nødvendigvis sandt. Fortovet kunne være vådt af andre grunde.
• Den inverse “Hvis det ikke regnede i går aftes, er fortovet ikke vådt” er ikke nødvendigvis sandt. Igen, bare fordi det ikke regn, betyder det ikke, at fortovet ikke er vådt.
• Den kontrapositive "Hvis fortovet ikke er vådt, regnede det ikke i går aftes" er en sand udsagn.

Hvad vi ser fra dette eksempel (og hvad der kan bevises matematisk) er, at en betinget udsagn har den samme sandhedsværdi som dens kontrapositive. Vi siger, at disse to udsagn er logisk ækvivalente. Vi ser også, at en betinget erklæring ikke logisk svarer til dens omvendte og inverse.

Da en betinget erklæring og dens kontrapositive er logisk ækvivalente, kan vi bruge denne til vores fordel, når vi beviser matematiske teoremer. I stedet for at bevise sandheden i en betinget erklæring direkte, kan vi i stedet bruge den indirekte bevisstrategi for at bevise sandheden i denne udsagns kontrapositive. Kontrapositive bevis fungerer, fordi hvis den kontrapositive er sand, på grund af logisk ækvivalens, er den oprindelige betingede udsagn også sand.

Det viser sig, at selvom samtale og invers svarer ikke logisk til den oprindelige betingede erklæring, de svarer logisk til hinanden. Der er en let forklaring på dette. Vi starter med den betingede erklæring “Hvis Q derefter P”. Den kontrapositive af denne erklæring er “Hvis ikke P så ikke Q.” Da det inverse er det kontrapositive for det omvendte, er det omvendte og det inverse logisk ækvivalente.