Det er vigtigt at vide, hvordan man beregner sandsynligheden for en begivenhed. Visse typer begivenheder med sandsynlighed kaldes uafhængige. Når vi har et par uafhængige begivenheder, kan vi nogle gange spørge: "Hvad er sandsynligheden for, at begge disse begivenheder opstår?" I denne situation kan vi simpelthen multiplicere vores to sandsynligheder sammen.
Vi vil se, hvordan man bruger multiplikationsreglen til uafhængige begivenheder. Når vi har gennemgået det grundlæggende, vil vi se detaljerne i et par beregninger.
Vi begynder med en definition af uafhængige begivenheder. I sandsynlighed, to begivenheder er uafhængige, hvis resultatet af den ene begivenhed ikke påvirker resultatet af den anden begivenhed.
Et godt eksempel på et par uafhængige begivenheder er, når vi ruller en dyse og derefter vender en mønt. Det antal, der vises på matrisen, har ingen indflydelse på den mønt, der blev kastet. Derfor er disse to begivenheder uafhængige.
Et eksempel på et par begivenheder, der ikke er uafhængige, ville være køn på hver baby i et sæt tvillinger. Hvis tvillingerne er identiske, er begge af dem mandlige, eller begge ville være kvindelige.
Multiplikationsreglen for uafhængige begivenheder relaterer sandsynligheden for to begivenheder til sandsynligheden for, at de begge forekommer. For at bruge reglen skal vi have sandsynligheden for hver af de uafhængige begivenheder. Givet disse begivenheder angiver multiplikationsreglen sandsynligheden for, at begge begivenheder finder sted, ved at multiplicere sandsynlighederne for hver begivenhed.
Betegn begivenheder EN og B og sandsynligheden for hver af P (A) og P (B). Hvis EN og B er uafhængige begivenheder, så:
Nogle versioner af denne formel bruger endnu flere symboler. I stedet for ordet "og" kan vi i stedet bruge skæringssymbolet: ∩. Undertiden bruges denne formel som definition af uafhængige begivenheder. Begivenheder er uafhængige, hvis og kun hvis P (A og B) = P (A) x P (B).
Vi vil se, hvordan man bruger multiplikationsreglen ved at se på et par eksempler. Antag først, at vi ruller en seks-sidet matrice og derefter vender en mønt. Disse to begivenheder er uafhængige. Sandsynligheden for at rulle en 1 er 1/6. Sandsynligheden for et hoved er 1/2. Sandsynligheden for at rulle en 1 og at få et hoved er 1/6 x 1/2 = 1/12.
Hvis vi var tilbøjelige til at være skeptiske til dette resultat, er dette eksempel lille nok til at alle resultaterne kunne være anført: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Vi ser, at der er tolv resultater, som alle er lige sandsynlige at forekomme. Derfor er sandsynligheden for 1 og et hoved 1/12. Multiplikationsreglen var meget mere effektiv, fordi den ikke krævede, at vi angav hele prøveområdet.
For det andet eksempel, formoder at vi tegner et kort fra en standard dæk, udskift dette kort, bland blandet og træk derefter igen. Så spørger vi, hvad er sandsynligheden for, at begge kort er konger. Siden vi har trukket med udskiftning, disse begivenheder er uafhængige, og multiplikationsreglen gælder.
Sandsynligheden for at tegne en konge til det første kort er 1/13. Sandsynligheden for at trække en konge på det andet træk er 1/13. Årsagen til dette er, at vi erstatter kongen, som vi trak fra første gang. Da disse begivenheder er uafhængige, bruger vi multiplikationsreglen for at se, at sandsynligheden for at trække to konger er givet af følgende produkt 1/13 x 1/13 = 1/169.
Hvis vi ikke erstattede kongen, ville vi have en anden situation, hvor begivenhederne ikke ville være uafhængige. Sandsynligheden for at trække en konge på det andet kort vil blive påvirket af resultatet af det første kort.