Chuck-a-Luck er et tilfældighedsspil. Tre terninger rulles, undertiden i en trådramme. På grund af denne ramme kaldes dette spil også fuglebur. Dette spil ses oftere i karnevaler snarere end kasinoer. På grund af brugen af tilfældige terninger kan vi dog bruge sandsynlighed til at analysere dette spil. Mere specifikt kan vi beregne den forventede værdi af dette spil.
indsatser
Der er flere typer indsatser, der er mulige at satse på. Vi vil kun overveje indsatsen med det eneste nummer. På denne indsats vælger vi blot et specifikt nummer fra en til seks. Så ruller vi terningerne. Overvej mulighederne. Alle terningerne, to af dem, en af dem eller ingen kunne vise det antal, vi har valgt.
Antag, at dette spil betaler følgende:
- $ 3 hvis alle tre terninger svarer til det valgte antal.
- $ 2 hvis nøjagtigt to terninger svarer til det valgte antal.
- $ 1, hvis nøjagtigt en af terningerne matcher det valgte antal.
Hvis ingen af terningerne svarer til det valgte antal, skal vi betale $ 1.
Hvad er den forventede værdi af dette spil? Med andre ord, i det lange løb, hvor meget i gennemsnit ville vi forvente at vinde eller tabe, hvis vi spillede dette spil gentagne gange?
sandsynligheder
For at finde den forventede værdi af dette spil er vi nødt til at bestemme fire sandsynligheder. Disse sandsynligheder svarer til de fire mulige resultater. Vi bemærker, at hver dø er uafhængig af de andre. På grund af denne uafhængighed bruger vi multiplikationsreglen. Dette vil hjælpe os med at bestemme antallet af resultater.
Vi antager også, at terningerne er retfærdige. Hver af de seks sider på hver af de tre terninger er lige sandsynligvis rullet.
Der er 6 x 6 x 6 = 216 mulige resultater ved at rulle disse tre terninger. Dette nummer vil være nævneren for alle vores sandsynligheder.
Der er en måde at matche alle tre terninger med det valgte antal på.
Der er fem måder for en enkelt matrice ikke at matche det valgte antal. Dette betyder, at der ikke er 5 x 5 x 5 = 125 måder for ingen af vores terninger at matche det valgte antal.
Hvis vi betragter nøjagtigt to af terningerne, der matcher, har vi en matrice, der ikke stemmer overens.
- Der er 1 x 1 x 5 = 5 måder for de første to terninger at matche vores antal og den tredje til at være anderledes.
- Der er 1 x 5 x 1 = 5 måder for den første og tredje terning at matche, med den anden være forskellige.
- Der er 5 x 1 x 1 = 5 måder for den første matrice at være anderledes og for den anden og den tredje til at matche.
Dette betyder, at der i alt er 15 måder, hvor nøjagtigt to terninger kan matche.
Vi har nu beregnet antallet af måder at opnå alle undtagen et af vores resultater. Der er 216 ruller mulige. Vi har tegnet for 1 + 15 + 125 = 141 af dem. Dette betyder, at der er 216 -141 = 75 tilbage.
Vi indsamler alle ovenstående oplysninger og ser:
- Sandsynligheden for, at vores antal matcher alle tre terninger, er 1/216.
- Sandsynligheden for, at vores antal matcher nøjagtigt to terninger, er 15/216.
- Sandsynligheden for, at vores antal matcher nøjagtigt en matrice, er 75/216.
- Sandsynligheden for, at vores antal matcher ingen af terningerne, er 125/216.
Forventet værdi
Vi er nu klar til at beregne forventet værdi af denne situation. Det formel for forventet værdi kræver, at vi multiplicerer sandsynligheden for hver begivenhed med nettovinsten eller tabet, hvis begivenheden finder sted. Derefter tilføjer vi alle disse produkter sammen.
Beregningen af den forventede værdi er som følger:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
Dette er cirka - $ 0,08. Fortolkningen er, at hvis vi skulle spille dette spil gentagne gange, ville vi i gennemsnit miste 8 cent hver gang vi spillede.