Sådan bruges komplementeringsreglen i statistikker

I statistikker er komplementregeln et sætning, der giver en forbindelse mellem sandsynligheden for en begivenhed og sandsynligheden for komplementet til begivenheden på en sådan måde, at hvis vi kender en af ​​disse sandsynligheder, så kender vi automatisk den anden.

Komplementeringsreglen er praktisk, når vi beregner visse sandsynligheder. Mange gange er sandsynligheden for en begivenhed rodet eller kompliceret at beregne, mens sandsynligheden for dens komplement er meget enklere.

Før vi ser, hvordan komplementsreglen bruges, definerer vi specifikt, hvad denne regel er. Vi begynder med en smule notation. Komplementet af begivenheden EN, der består af alle elementer i prøve pladsS der ikke er elementer i sættet EN, betegnes med ENC.

Komplementeringsreglen er angivet som "summen af ​​sandsynligheden for en begivenhed og sandsynligheden for dens komplement er lig med 1", som udtrykt ved følgende ligning:

P (EN^C) = 1 - P (EN)

Følgende eksempel viser, hvordan du bruger komplementsreglen. Det vil fremgå, at dette teorem både vil fremskynde og forenkle sandsynlighedsberegninger.

Antag, at vi vender otte fair mønter - hvad er sandsynligheden for, at vi har mindst et hoved der viser? En måde at finde ud af er at beregne følgende sandsynligheder. Nævneren for hver enkelt forklares ved, at der er 2⁸ = 256 resultater, hver af dem lige sandsynlige. Alt det følgende os en formel til kombinationer:

• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt med et hoved er C (8,1) / 256 = 8/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt to hoveder er C (8,2) / 256 = 28/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt tre hoveder er C (8,3) / 256 = 56/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt fire hoveder er C (8,4) / 256 = 70/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt fem hoveder er C (8,5) / 256 = 56/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt seks hoveder er C (8,6) / 256 = 28/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt syv hoveder er C (8,7) / 256 = 8/256.
• Sandsynligheden for at vende nøjagtigt otte hoveder er C (8,8) / 256 = 1/256.

Disse er gensidigt eksklusivt begivenheder, så vi summerer sandsynlighederne ved hjælp af en den passende tilføjelsesregel. Dette betyder, at sandsynligheden for, at vi har mindst et hoved, er 255 ud af 256.

Vi beregner nu den samme sandsynlighed ved hjælp af komplementreglen. Begivenhedens komplement "Vi vender mindst et hoved" er begivenheden "Der er ingen hoveder." Der er en måde, dette sker på, hvilket giver os sandsynligheden for 1/256. Vi bruger komplementregeln og finder ud af, at vores ønskede sandsynlighed er en minus en ud af 256, hvilket er lig med 255 ud af 256.

Dette eksempel demonstrerer ikke kun nytten, men også kraften i komplementregeln. Selvom der ikke er noget galt med vores oprindelige beregning, var den ganske involveret og krævede flere trin. I modsætning hertil, da vi brugte komplementreglen til dette problem, var der ikke så mange trin, hvor beregninger kunne gå galt.