Flere sætninger med sandsynlighed kan udledes af aksiomer af sandsynlighed. Disse sætninger kan anvendes til at beregne sandsynligheder, som vi måske ønsker at kende. Et sådant resultat er kendt som komplementregeln. Denne erklæring giver os mulighed for at beregne sandsynligheden for en begivenhedEN ved at kende sandsynligheden for komplementet ENC. Når vi har angivet komplementsreglen, vil vi se, hvordan dette resultat kan bevises.
Komplementeringsreglen
Komplementet af begivenheden EN betegnes med ENC. Komplementet af EN er sæt af alle elementer i det universelle sæt, eller prøve plads S, det er ikke elementer i sættet EN.
Komplementeringsreglen udtrykkes ved følgende ligning:
P (ENC) = 1 - P (EN)
Her ser vi, at sandsynligheden for en begivenhed og sandsynligheden for dens komplement skal summe til 1.
Bevis for komplementeringsreglen
For at bevise komplementreglen begynder vi med sandsynlighedens aksiomer. Disse udsagn antages uden bevis. Vi vil se, at de systematisk kan bruges til at bevise vores udsagn om sandsynligheden for en komplement til en begivenhed.
- Den første sandsynlighed for sandsynlighed er, at sandsynligheden for enhver begivenhed er et ikke-negativt reelt antal.
- Det andet aksiom af sandsynlighed er, at sandsynligheden for hele prøveområdet S er en. Symbolisk skriver vi P (S) = 1.
- Den tredje sandsynlighed for sandsynlighed siger, at hvis EN og B er gensidigt eksklusive (hvilket betyder, at de har et tomt kryds), så angiver vi sandsynligheden for forening af disse begivenheder som P (EN U B ) = P (EN) + P (B).
For komplementreglen behøver vi ikke at bruge den første aksiom på listen ovenfor.
For at bevise vores erklæring overvejer vi begivenhederne ENog ENC. Fra sætteori ved vi, at disse to sæt har tom skæringspunkt. Dette skyldes, at et element ikke samtidig kan være i begge dele EN og ikke i EN. Da der er et tomt kryds, er disse to sæt gensidigt eksklusivt.
Foreningen mellem de to begivenheder EN og ENC er også vigtige. Disse udgør udtømmende begivenheder, hvilket betyder, at Union af disse begivenheder er hele prøveområdet S.
Disse fakta kombineret med aksiomerne giver os ligningen
1 = P (S) = P (EN U ENC) = P (EN) + P (ENC) .
Den første lighed skyldes den anden sandsynlighedsaksiom. Den anden lighed skyldes begivenhederne EN og ENC er udtømmende. Den tredje ligestilling skyldes den tredje sandsynlighedsaksiom.
Ovenstående ligning kan omarrangeres til den form, som vi anførte ovenfor. Alt hvad vi skal gøre er at trække sandsynligheden for EN fra begge sider af ligningen. Dermed
1 = P (EN) + P (ENC)
bliver ligningen
P (ENC) = 1 - P (EN).
Naturligvis kunne vi også udtrykke reglen ved at angive, at:
P (EN) = 1 - P (ENC).
Alle tre af disse ligninger er ækvivalente måder at sige den samme ting på. Vi ser fra dette bevis, hvordan bare to aksiomer og nogle sætteori går langt for at hjælpe os med at bevise nye udsagn om sandsynlighed.