Sådan bruges 'Hvis og kun hvis' i matematik

Når du læser om statistik og matematik, er en sætning, der regelmæssigt dukker op, "hvis og kun hvis." Denne sætning optræder især inden for udsagn om matematiske teoremer eller bevis. Men hvad betyder netop denne erklæring?

For at forstå "hvis og kun hvis", skal vi først vide, hvad der menes med en betinget erklæring. En betinget erklæring er en, der er dannet af to andre udsagn, som vi vil betegne med P og Q. For at danne en betinget erklæring kunne vi sige "hvis P så er Q."

Følgende er eksempler på denne slags udsagn:

• Hvis det regner udenfor, tager jeg min paraply med mig på min tur.
• Hvis du studerer hårdt, tjener du et A.
• Hvis n kan derefter deles med 4 n kan deles med 2.

Tre andre udsagn er relateret til enhver betinget erklæring. Disse kaldes samtale, invers og kontrapositiv. Vi danner disse udsagn ved at ændre rækkefølgen af ​​P og Q fra den oprindelige betingede og indsætte ordet "ikke" for det inverse og kontrapositivt.

Vi behøver kun at overveje det konverserede her. Denne erklæring er hentet fra originalen ved at sige "hvis Q så er P." Antag, at vi starter med den betingede ”Hvis det regner udenfor, så er jeg tag min paraply med mig på min tur. ” Omvendelsen af ​​denne erklæring er ”hvis jeg tager min paraply med mig på min gåtur, regner det uden for."

Vi behøver kun at overveje dette eksempel for at indse, at den oprindelige betingelse ikke logisk er den samme som dens omvendt. Forvirringen mellem disse to udsagnsformer er kendt som en konversationsfejl. Man kunne tage en paraply på en tur, selvom det måske ikke regner udenfor.

For et andet eksempel overvejer vi den betingede ”Hvis et tal er delbart med 4, er det delbart med 2.” Denne erklæring er klart sand. Imidlertid er denne udsagns konversation "Hvis et tal er delbart med 2, så er det delbart med 4" er falsk. Vi behøver kun at se på et tal som 6. Selvom 2 deler dette nummer, gør 4 ikke det. Mens den originale erklæring er sand, er dens omvendt ikke.

Dette bringer os til en dobbeltbetinget erklæring, der også er kendt som en "hvis og kun hvis" erklæring. Visse betingede udsagn har også samtaler, der er rigtige. I dette tilfælde kan vi muligvis danne det, der er kendt som en to-betinget erklæring. En to-betinget erklæring har formen:

”Hvis P derefter Q, og hvis Q så P.”

Siden dette konstruktion er lidt akavet, især når P og Q er deres egne logiske udsagn, forenkler vi udsagnet om en tobetinget ved at bruge udtrykket "hvis og kun hvis." I stedet for at sige "hvis P derefter Q, og hvis Q så P", siger vi i stedet "P hvis og kun hvis Q." Denne konstruktion eliminerer nogle redundans.

For et eksempel på udtrykket "hvis og kun hvis" der involverer statistik, skal du ikke se længere end et faktum, der vedrører prøvestandardafvigelsen. Eksempelstandardafvigelsen for et datasæt er lig med nul hvis og kun hvis alle dataværdierne er identiske.

Vi bryder denne tobetingede erklæring i en betinget og dens samtale. Derefter ser vi, at denne erklæring betyder begge følgende:

• Hvis standardafvigelsen er nul, er alle dataværdier identiske.
• Hvis alle dataværdierne er identiske, er standardafvigelsen lig med nul.

Hvis vi forsøger at bevise en tobetingelse, ender vi oftest med at opdele den. Dette får vores bevis til at have to dele. En del, vi beviser, er “hvis P så er Q.” Den anden del af det bevis, vi har brug for, er "hvis Q så er P."

Biconditional udsagn er relateret til forhold, der er både nødvendige og tilstrækkelige. Overvej udsagnet ”hvis i dag er det påske, så i morgen er det mandag. ” I dag er påske er tilstrækkelig til, at morgendag er mandag, men det er ikke nødvendigt. I dag kunne være enhver anden søndag end påske, og i morgen ville der stadig være mandag.

Udtrykket “hvis og kun hvis” bruges almindeligt nok i matematisk skrivning til at det har sin egen forkortelse. Nogle gange forkortes det to betingede i udsagnet om "hvis og kun hvis" til "iff." Således udsagnet "P hvis og kun hvis Q" bliver "P iff Q."