Hvad er eksponentielle vækstfunktioner?

Eksponentielle funktioner fortæller historierne om eksplosiv forandring. De to typer eksponentielle funktioner er eksponentiel vækst og eksponentielt forfald. Fire variabler (procentændring, tid, beløbet i begyndelsen af ​​tidsperioden og beløbet ved slutningen af ​​tidsperioden) spiller roller i eksponentielle funktioner. Følgende fokuserer på at bruge eksponentielle vækstfunktioner til at fremsætte forudsigelser.

Eksponentiel vækst er den ændring, der sker, når en original mængde øges med en jævn hastighed over en periode

Anvendelser af eksponentiel vækst i det virkelige liv:

• Værdier for boligpriser
• Værdier for investeringer
• Øget medlemskab af et populært netværk på sociale netværk

Edloe og Co. er afhængige af mund-til-mund-reklame, det originale sociale netværk. Halvtreds shoppere fortalte fem personer, og så fortalte hver af disse nye shoppere fem flere mennesker, og så videre. Manageren registrerede væksten hos butikskøbere.

• Uge 0: 50 kunder
• Uge 1: 250 kunder
• Uge 2: 1.250 kunder
• Uge 3: 6.250 kunder
• Uge 4: 31.250 kunder

Først, hvordan ved du, at disse data repræsenterer eksponentiel vækst? Stil dig selv to spørgsmål.

1. Stiger værdierne? Ja
2. Viser værdierne en konstant stigning i procent? Ja.

Procentvis stigning: (Nyere - Ældre) / (Ældre) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Kontroller, at procentvis stigning fortsætter i løbet af måneden:

Procentvis stigning: (Nyere - Ældre) / (Ældre) = (1.250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Procentvis stigning: (Nyere - Ældre) / (Ældre) = (6.250 - 1.250) / 1.250 = 4,00 = 400%

Forsigtig - ikke forveksle eksponentiel og lineær vækst.

Følgende repræsenterer lineær vækst:

• Uge 1: 50 kunder
• Uge 2: 50 kunder
• Uge 3: 50 kunder
• Uge 4: 50 kunder

Bemærk: Lineær vækst betyder et konstant antal kunder (50 kunder om ugen); eksponentiel vækst betyder en konstant procentvis stigning (400%) af kunderne.

Her er en eksponentiel vækstfunktion:

y = en(1 + b)^x

• y: Restbeløb, der er tilbage over en periode
• -en: Det oprindelige beløb
• x: Tid
• Det vækstfaktor er (1 + b).
• Variablen, b, er procentvis ændring i decimalform.

Udfylde de tomme felter:

• -en = 50 kunder
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^x

Bemærk: Udfyld ikke værdier for x og y. Værdierne for x og y ændres gennem hele funktionen, men den oprindelige ændring i mængde og procent forbliver konstant.

Antag, at recessionen, den primære driver af shoppere til butikken, fortsætter i 24 uger. Hvor mange ugentlige shoppere har butikken i løbet af 8^th uge?

Forsigtig, dobl ikke antallet af kunder i uge 4 (31.250 * 2 = 62.500) og tro, at det er det rigtige svar. Husk, at denne artikel handler om eksponentiel vækst, ikke lineær vækst.

Brug rækkefølgen af ​​operationer for at forenkle.

y = 50(1 + 4)^x

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Parentes)

y = 50 (390,625) (eksponent)

y = 19.531.250 (multiplicer)

19.531.250 kunder

Før recessionens begyndelse svævede butikens månedlige indtægt omkring $ 800.000. En butiks indtægter er det samlede dollarbeløb, som kunderne bruger i butikken på varer og tjenester.

Edloe og Co. Indtægter

• Før recessionen: $ 800.000
• 1 måned efter recession: $ 880.000
• 2 måneder efter recession: $ 968.000
• 3 måneder efter recession: 1.171.280 $
• 4 måneder efter recession: $ 1.288.408

Brug oplysningerne om Edloe og Co's indtægter til at gennemføre 1 til 7.

1. Hvad er de oprindelige indtægter?
2. Hvad er vækstfaktoren?
3. Hvordan eksponeres denne datamodel eksponentiel vækst?
4. Skriv en eksponentiel funktion, der beskriver disse data.
5. Skriv en funktion for at forudsige indtægter i den femte måned efter starten af ​​recessionen.
6. Hvad er indtægterne i den femte måned efter starten af recession?
7. Antag, at domænet for denne eksponentielle funktion er 16 måneder. Antag med andre ord, at recessionen vil vare i 16 måneder. På hvilket tidspunkt vil indtægterne overstige 3 millioner dollars?