Associative og kommutative egenskaber

Der er flere matematiske egenskaber, der bruges i Statistikker og sandsynlighed; to af disse, de kommutative og associative egenskaber, er generelt forbundet med den grundlæggende aritmetik af heltal, rationaler, og reelle tal, selvom de også vises i mere avanceret matematik.

Disse egenskaber - det kommutative og det associative - er meget ens og kan let blandes sammen. Af den grund er det vigtigt at forstå forskellen mellem de to.

Den kommutative egenskab vedrører rækkefølgen af ​​visse matematiske operationer. Ved en binær operation - en, der kun involverer to elementer - kan dette vises ved ligningen a + b = b + a. Handlingen er kommutativ, fordi rækkefølgen af ​​elementerne ikke påvirker resultatet af operationen. Den tilknyttede egenskab vedrører på den anden side gruppering af elementer i en operation. Dette kan vises ved ligningen (a + b) + c = a + (b + c). Gruppering af elementerne, som indikeret af parenteserne, påvirker ikke resultatet af ligningen. Bemærk, at når den kommutative egenskab bruges, er elementer i en ligning

Enkelt sagt siger den kommutative egenskab, at faktorer i en ligning kan omarrangeres frit uden at påvirke resultatet af ligningen. Den kommutative egenskab vedrører derfor rækkefølgen af ​​operationer, herunder tilføjelse og multiplikation af reelle tal, heltal og rationelle tal.

F.eks. Kan numrene 2, 3 og 5 tilføjes sammen i enhver rækkefølge uden at påvirke det endelige resultat:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Tallene kan ligeledes multipliceres i enhver rækkefølge uden at påvirke det endelige resultat:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Subtraktion og opdeling er imidlertid ikke operationer, der kan være kommutative, fordi rækkefølgen af ​​operationer er vigtig. De tre numre ovenfor kan ikkefor eksempel trækkes i enhver rækkefølge uden at påvirke den endelige værdi:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Som et resultat kan den kommutative egenskab udtrykkes gennem ligningerne a + b = b + a og a x b = b x a. Uanset rækkefølgen af ​​værdierne i disse ligninger, vil resultaterne altid være de samme.

Den tilknyttede egenskab angiver, at grupperingen af ​​faktorer i en operation kan ændres uden at påvirke resultatet af ligningen. Dette kan udtrykkes gennem ligningen a + (b + c) = (a + b) + c. Uanset hvilket par værdier i ligningen der først tilføjes, vil resultatet være det samme.

Tag for eksempel ligningen 2 + 3 + 5. Uanset hvordan værdierne grupperes, vil resultatet af ligningen være 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Som med den kommutative egenskab inkluderer eksempler på operationer, der er tilknyttet, tilføjelse og multiplikation af reelle tal, heltal og rationelle tal. I modsætning til den kommutative egenskab kan den associative egenskab dog også gælde for matrixmultiplikation og funktionskomposition.

Ligesom kommutative ejendomsligninger kan associative ejendomsligninger ikke indeholde subtraktion af reelle tal. Tag for eksempel det aritmetiske problem (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; hvis vi ændrer gruppering af parenteser, har vi 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, hvilket ændrer det endelige resultat af ligningen.

Vi kan fortælle forskellen mellem den tilknyttede og den kommutative egenskab ved at stille spørgsmålet: ”Ændrer vi rækkefølgen af elementerne, eller ændrer vi gruppering af elementerne? ” Hvis elementerne omorganiseres, er den kommutative egenskab gælder. Hvis elementerne kun omgrupperes, gælder den tilknyttede egenskab.

Bemærk dog, at tilstedeværelsen af ​​parenteser ikke nødvendigvis betyder, at den tilknyttede ejendom finder anvendelse. For eksempel:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Denne ligning er et eksempel på den kommutative egenskab ved tilføjelse af reelle tal. Hvis vi dog er opmærksomme på ligningen, ser vi imidlertid, at kun rækkefølgen af ​​elementerne er blevet ændret, ikke grupperingen. For at den tilknyttede egenskab kan anvendes, er vi nødt til at omarrangere gruppering af elementerne:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3