Forskellen på to sæt, skrevet EN - B er sættet af alle elementer i EN der ikke er elementer i B. Forskellen operation sammen med fagforening og kryds er en vigtig og grundlæggende sæt teori operation.
Beskrivelse af forskellen
Subtraktion af et tal fra et andet kan tænkes på mange forskellige måder. En model til at hjælpe med at forstå dette koncept kaldes afhentningsmodellen af subtraktion. I dette blev problemet 5 - 2 = 3 demonstreret ved at starte med fem objekter, fjerne to af dem og tælle, at der var tre tilbage. På en lignende måde som vi finder forskellen mellem to tal, kan vi finde forskellen mellem to sæt.
Et eksempel
Vi vil se på et eksempel på den indstillede forskel. For at se, hvordan forskellen på to sæt danner et nyt sæt, lad os overveje sætene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. At finde forskellen EN - B af disse to sæt begynder vi med at skrive alle elementerne i EN, og tag derefter hvert element af EN det er også et element af B. Siden EN deler elementerne 3, 4 og 5 med B, dette giver os den indstillede forskel EN - B = {1, 2}.
Orden er vigtig
Ligesom forskellene 4 - 7 og 7 - 4 giver os forskellige svar, er vi nødt til at være forsigtige med den rækkefølge, i hvilken vi beregner den indstillede forskel. For at bruge et teknisk udtryk fra matematik, vil vi sige, at den indstillede funktion af forskellen ikke er kommutativ. Hvad dette betyder er, at vi generelt ikke kan ændre rækkefølgen af forskellen mellem to sæt og forvente det samme resultat. Vi kan mere præcist angive det for alle sæt EN og B, EN - B er ikke lig med B - EN.
For at se dette, se tilbage til eksemplet ovenfor. Vi beregnet det for sætene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, forskellen EN - B = {1, 2 }. For at sammenligne dette med B - EN, vi begynder med elementerne i B, som er 3, 4, 5, 6, 7, 8, og fjern derefter 3, 4 og 5, fordi disse er fælles med EN. Resultatet er B - EN = {6, 7, 8 }. Dette eksempel viser os klart A - B er ikke lig med B - A.
Komplementet
En slags forskel er vigtig nok til at garantere sit eget særlige navn og symbol. Dette kaldes komplementet, og det bruges til den indstillede forskel, når første sæt er det universelle sæt. Komplementet af EN gives ved udtrykket U - EN. Dette henviser til sættet af alle elementer i det universelle sæt, som ikke er elementer i EN. Da det forstås, at sæt af elementer at vi kan vælge fra er taget fra det universelle sæt, kan vi ganske enkelt sige, at komplementet til EN er det sæt, der består af elementer, der ikke er elementer i EN.
Komplementet af et sæt er i forhold til det universelle sæt, som vi arbejder med. Med EN = {1, 2, 3} og U = {1, 2, 3, 4, 5}, komplementet til EN er {4, 5}. Hvis vores universelle sæt er anderledes, skal du sige U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, derefter komplementet til EN {-3, -2, -1, 0}. Sørg altid for at være opmærksom på det universelle sæt, der bruges.
Notation for komplementet
Ordet "komplement" starter med bogstavet C, og derfor bruges dette i notationen. Komplementet af sættet EN er skrevet som ENC. Så vi kan udtrykke definitionen af komplementet i symboler som: ENC = U - EN.
En anden måde, der ofte bruges til at betegne komplementet til et sæt, involverer en apostrof og er skrevet som EN'.
Andre identiteter, der involverer forskellen og komplementerne
Der er mange sæt identiteter, der involverer brugen af forskellen og komplementerer operationer. Nogle identiteter kombinerer andre sæt operationer, f.eks vejkryds og Union. Nogle få af de mere vigtige er anført nedenfor. For alle sæt EN, og B og D vi har:
- EN - EN =∅
- EN - ∅ = EN
- ∅ - EN = ∅
- EN - U = ∅
- (ENC)C = EN
- DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)C = ENC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)C = ENC ∩ BC