Formlen for forventet værdi

Et naturligt spørgsmål at stille om en sandsynlighedsfordeling er: "Hvad er dens centrum?" Den forventede værdi er en sådan måling af midten af ​​en sandsynlighedsfordeling. Da det måler middelværdien, bør det ikke overraske, at denne formel er afledt af middelværdien.

For at etablere et udgangspunkt skal vi besvare spørgsmålet, "Hvad er den forventede værdi?" Antag, at vi har en tilfældig variabel tilknyttet et sandsynlighedseksperiment. Lad os sige, at vi gentager dette eksperiment igen og igen. I det lange løb af flere gentagelser af det samme sandsynlighedseksperiment, hvis vi gennemsnit alle vores værdier af tilfældig variabel, ville vi opnå den forventede værdi.

I det følgende vil vi se, hvordan man bruger formlen til forventet værdi. Vi vil se på både de diskrete og kontinuerlige indstillinger og se ligheder og forskelle i formlerne.

Vi starter med at analysere den diskrete sag. Givet en diskret tilfældig variabel x, formoder, at det har værdier

Den forventede værdi af x er givet ved formlen:

E (x) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +... + x_np_n.

Ved hjælp af sandsynlighedsmassefunktionen og summationsnotation giver vi os mulighed for mere kompakt at skrive denne formel som følger, hvor summationen overtages indekset jeg:

E (x) = Σ x_jegf(x_jeg).

Denne version af formlen er nyttigt at se, fordi den også fungerer, når vi har en uendelig prøveplads. Denne formel kan også let justeres til det kontinuerlige tilfælde.

Vend en mønt tre gange og lad x være antallet af hoveder. Den tilfældige variabel x er diskret og begrænset. De eneste mulige værdier, som vi kan have, er 0, 1, 2 og 3. Dette har en sandsynlighedsfordeling på 1/8 for x = 0, 3/8 for x = 1, 3/8 for x = 2, 1/8 for x = 3. Brug den forventede formel for at opnå:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

I dette eksempel ser vi, at vi i det lange løb i gennemsnit vil beregne 1,5 hoveder fra dette eksperiment. Dette giver mening med vores intuition, da halvdelen af ​​3 er 1,5.

Vi henvender os nu til en kontinuerlig tilfældig variabel, som vi vil betegne ved x. Vi lader sandsynlighedsdensitetsfunktionen af x gives af funktionen f(x).

Den forventede værdi af x er givet ved formlen:

E (x) = ∫ x f(x) dx.

Her ser vi, at den forventede værdi af vores tilfældige variabel udtrykkes som en integral.

Der er mange ansøgninger om den forventede værdi af en tilfældig variabel. Denne formel giver et interessant udseende i St. Petersburg-paradoks.