Vektormatematik: En grundlæggende, men omfattende introduktion

Dette er en grundlæggende, skønt forhåbentlig ret omfattende introduktion til at arbejde med vektorer. Vektorer manifesterer sig på en lang række måder fra forskydning, hastighed og acceleration til kræfter og felter. Denne artikel er viet til matematikken i vektorer; deres anvendelse i specifikke situationer vil blive behandlet andetsteds.

EN vektor mængde, eller vektor, giver information om ikke kun størrelsen, men også mængdenes retning. Når du giver retninger til et hus, er det ikke nok at sige, at det er 10 miles væk, men retningen på disse 10 miles skal også leveres for at informationen kan være nyttig. Variabler, der er vektorer, vil blive angivet med en fedtfladevariabel, selvom det er almindeligt at se vektorer, der er betegnet med små pile over variablen.

Ligesom vi ikke siger, at det andet hus er -10 miles væk, er størrelsen af ​​en vektor altid et positivt tal, eller rettere den absolutte værdi af vektorens "længde" (selvom mængde kan ikke være en længde, det kan være en hastighed, acceleration, kraft osv.) En negativ foran en vektor indikerer ikke en ændring i størrelsesordenen, men snarere i retning af vektor.

I eksemplerne ovenfor er afstand den skalære mængde (10 miles) men forskydning er vektormængden (10 miles mod nordøst). Tilsvarende er hastighed en skalær mængde, mens hastigheden er en vektor antal.

EN enhedsvektor er en vektor, der har en størrelsesorden på en. En vektor, der repræsenterer en enhedsvektor, er normalt også fedt, selvom den vil have en karat (^) derover for at indikere variablenhedens art. Enhedsvektoren x, læses generelt med "x-hat", når den er skrevet med en karat, fordi karat ligner en hat på variablen.

Det nul vektor, eller null vektor, er en vektor med en størrelse på nul. Det er skrevet som 0 i denne artikel.

Vektorer er generelt orienteret om et koordinatsystem, hvis mest populære er det todimensionelle kartesiske plan. Det kartesiske plan har en vandret akse, der er mærket x og en lodret akse mærket y. Nogle avancerede anvendelser af vektorer i fysik kræver anvendelse af et tredimensionelt rum, hvor akserne er x, y og z. Denne artikel vil mest behandle det to-dimensionelle system, skønt koncepterne kan udvides med en vis omhu til tre dimensioner uden for store problemer.

Vektorer i koordinatsystemer med flere dimensioner kan opdeles i deres komponentvektorer. I det to-dimensionelle tilfælde resulterer dette i en x-komponent og a y-komponent. Når en vektor brydes i dens komponenter, er vektoren en sum af komponenterne:

F = F_x + F_y

thetaF_xF_yF

F_x / F = cos theta og F_y / F = synd thetahvilket giver os
F_x = F cos theta og F_y = F synd theta

Bemærk, at tallene her er størrelserne på vektorerne. Vi ved retningen af ​​komponenterne, men vi prøver at finde deres størrelse, så vi striber retningsinformationen og udfører disse skalarberegninger for at finde ud af størrelsesordenen. Yderligere anvendelse af trigonometri kan bruges til at finde andre sammenhænge (som tangenten), der er relateret til nogle af disse mængder, men jeg tror, ​​det er nok for nu.

I mange år er den eneste matematik, som en studerende lærer, skalær matematik. Hvis du rejser 5 miles nord og 5 miles øst, har du rejst 10 miles. Tilføjelse af skalære mængder ignorerer al information om retningen.

Vektorer manipuleres noget anderledes. Retningen skal altid tages i betragtning, når man manipulerer dem.

Når du tilføjer to vektorer, er det som om du tog vektorerne og placerede dem ende til ende og oprettede en ny vektor, der kører fra startpunktet til slutpunktet. Hvis vektorerne har den samme retning, betyder det bare at tilføje størrelserne, men hvis de har forskellige retninger, kan det blive mere kompliceret.

Du tilføjer vektorer ved at bryde dem ind i deres komponenter og derefter tilføje komponenterne, som nedenfor:

-en + b = c
-en_x + -en_y + b_x + b_y =
( -en_x + b_x) + ( -en_y + b_y) = c_x + c_y

De to x-komponenter resulterer i x-komponenten i den nye variabel, mens de to y-komponenter resulterer i y-komponenten i den nye variabel.

Den rækkefølge, du tilføjer vektorerne, betyder ikke noget. Faktisk er flere egenskaber fra skalær tilføjelse gældende for vektoraddition:

Identitetsejendom for vektortilsætning
-en + 0 = -en
Inverse egenskab af vektor tilføjelse
-en + --en = -en - -en = 0
Reflekterende egenskab ved vektortilsætning
-en = -en
Kommutativ ejendom af vektor tilføjelse
-en + b = b + -en
Assosiativ egenskab af vektortilsætning
(-en + b) + c = -en + (b + c)
Transitiv egenskab af vektor tilføjelse
Hvis -en = b og c = b, derefter -en = c

Den enkleste operation, der kan udføres på en vektor, er at multiplicere den med en skalar. Denne skalære multiplikation ændrer vektorens størrelse. Med andre ord gør det vektoren længere eller kortere.

Når man multiplicerer gange med et negativt skalar, peger den resulterende vektor i den modsatte retning.

Det skalar produkt af to vektorer er en måde at multiplicere dem sammen for at opnå en skalær mængde. Dette er skrevet som en multiplikation af de to vektorer, med en prik i midten, der repræsenterer multiplikationen. Som sådan kaldes det ofte dot produkt af to vektorer.

For at beregne prikproduktet af to vektorer overvejer du vinklen mellem dem. Med andre ord, hvis de delte det samme udgangspunkt, hvad ville vinkelmåling være (theta) mellem dem. Punktproduktet defineres som:

-en * b = ab cos theta

ababba

I tilfælde, hvor vektorerne er vinkelrette (eller theta = 90 grader), cos theta vil være nul. Derfor, prikproduktet af vinkelrette vektorer er altid nul. Når vektorerne er parallel (eller theta = 0 grader), cos theta er 1, så det skalære produkt er bare et produkt af størrelsesordenerne.

Disse pæne små fakta kan bruges til at bevise, at hvis du kender komponenterne, kan du fjerne behovet for theta helt med den (to-dimensionelle) ligning:

-en * b = -en_x b_x + -en_y b_y

Det vektor produkt er skrevet i formen -en x b, og kaldes normalt kryds produkt af to vektorer. I dette tilfælde multiplicerer vi vektorerne, og i stedet for at få en skalær mængde, får vi en vektormængde. Dette er det vanskeligste af vektorberegningerne, som vi har at gøre med, som det er ikke kommutativ og involverer brug af frygtede højre regel, som jeg snart kommer til.

Igen overvejer vi to vektorer trukket fra det samme punkt med vinklen theta mellem dem. Vi tager altid den mindste vinkel theta vil altid være inden for et område fra 0 til 180, og resultatet vil derfor aldrig være negativt. Størrelsen af ​​den resulterende vektor bestemmes som følger:

Hvis c = -en x b, derefter c = ab synd theta

Vektorproduktet af parallelle (eller antiparallelle) vektorer er altid nul

Vektorproduktet vil være vinkelret på det plan, der er oprettet fra disse to vektorer. Hvis du ser flyet som et fladt bord, bliver spørgsmålet, om den resulterende vektor går op (vores "ud" af tabellen, fra vores perspektiv) eller ned (eller "ind" i tabellen, fra vores perspektiv).

For at finde ud af dette skal du anvende det, der kaldes højre regel. Da jeg studerede fysik i skolen, gjorde jeg forhadte højre regel. Hver gang jeg brugte den, var jeg nødt til at trække bogen ud for at se, hvordan den fungerede. Forhåbentlig bliver min beskrivelse lidt mere intuitiv end den, jeg blev introduceret for.

Hvis du har -en x b placerer du din højre hånd langs længden af b så dine fingre (undtagen tommelfingeren) kan krumme for at pege langs -en. Med andre ord, du prøver slags at skabe vinklen theta mellem håndfladen og fire fingre på din højre hånd. Tommelfingeren klæber i dette tilfælde lige op (eller ud af skærmen, hvis du prøver at gøre det op til computeren). Dine knoker vil blive grovt foret med startpunktet for de to vektorer. Præcision er ikke afgørende, men jeg vil have dig til at få ideen, da jeg ikke har et billede af dette at give.

Hvis du overvejer det b x -en, vil du gøre det modsatte. Du lægger din højre hånd med -en og peg fingrene med b. Hvis du prøver at gøre dette på computerskærmen, finder du det umuligt, så brug din fantasi. Du vil opdage, at i dette tilfælde peger din fantasifulde tommelfinger ind på computerskærmen. Det er retningen for den resulterende vektor.

Højre regel viser følgende forhold:

-en x b = - b x -en

CABC

c_x = -en_y b_z - -en_z b_y
c_y = -en_z b_x - -en_x b_z
c_z = -en_x b_y - -en_y b_x

abc_xc_yc

På højere niveauer kan vektorer blive ekstremt komplekse at arbejde med. Hele kurser på college, såsom lineær algebra, bruger meget tid på matrixer (som jeg venligst undgik i denne introduktion), vektorer og vektor mellemrum. Dette detaljeringsniveau er uden for denne artikels rækkevidde, men dette skal give de nødvendige fundament for det meste af vektormanipulationen, der udføres i fysikklasserommet. Hvis du har til hensigt at studere fysik mere dybt, vil du blive introduceret til de mere komplekse vektorkoncepter, når du fortsætter gennem din uddannelse.