Dirac delta-funktionen er det navn, der gives til en matematisk struktur, der er beregnet til at repræsentere et idealiseret punktobjekt, såsom en punktmasse eller punktladning. Det har brede applikationer inden for kvantemekanik og resten af kvantefysik, som det normalt bruges inden for kvanten bølgefunktion. Delta-funktionen er repræsenteret med det græske lille symbol delta, skrevet som en funktion: δ (x).
Sådan fungerer Delta-funktionen
Denne repræsentation opnås ved at definere Dirac delta-funktionen, så den har en værdi på 0 overalt undtagen ved inputværdien 0. På det tidspunkt repræsenterer det en spids, der er uendeligt høj. Integralet, der overtages over hele linjen, er lig med 1. Hvis du har studeret beregning, har du sandsynligvis løbet ind i dette fænomen før. Husk, at dette er et koncept, der normalt introduceres for studerende efter mange års studier på universitetsniveau i teoretisk fysik.
Med andre ord er resultaterne følgende for den mest basale delta-funktion δ (x), med en endimensionel variabel x, for nogle tilfældige inputværdier:
- δ(5) = 0
- δ(-20) = 0
- δ(38.4) = 0
- δ(-12.2) = 0
- δ(0.11) = 0
- δ(0) = ∞
Du kan skalere funktionen op ved at multiplicere den med en konstant. Under beregningsreglerne vil multiplikation med en konstant værdi også øge integralets værdi med den konstante faktor. Da integralet af δ (x) på tværs af alle reelle tal er 1, så multipliceres det med en konstant af ville have et nyt integral lig med den konstante. Så for eksempel 27δ (x) har et integreret tværs af alle reelle tal på 27.
En anden nyttig ting at overveje er, at da funktionen kun har en værdi uden nul for et input på 0, så hvis du ser på et koordinatnet, hvor dit punkt ikke er oprettet lige ved 0, dette kan repræsenteres med et udtryk inde i funktionens input. Så hvis du vil repræsentere ideen om, at partiklen er i en position x = 5, så ville du skrive Dirac delta-funktionen som δ (x - 5) = ∞ [siden δ (5 - 5) = ∞].
Hvis du så vil bruge denne funktion til at repræsentere en række punktpartikler i et kvantesystem, kan du gøre det ved at tilføje forskellige dirac delta-funktioner. For et konkret eksempel kunne en funktion med punkter ved x = 5 og x = 8 repræsenteres som δ (x - 5) + δ (x - 8). Hvis du derefter tog et integral af denne funktion over alle numre, ville du få et integral der repræsenterer reelle tal, selvom funktionerne er 0 på alle andre steder end de to, hvor der er er point. Dette koncept kan derefter udvides til at repræsentere et rum med to eller tre dimensioner (i stedet for det endimensionelle tilfælde, jeg brugte i mine eksempler).
Dette er en ganske kort introduktion til et meget komplekst emne. Den vigtigste ting at indse om det er, at Dirac delta-funktionen grundlæggende eksisterer med det eneste formål at give integrationen af funktionen mening. Når der ikke er noget integreret sted, er tilstedeværelsen af Dirac delta-funktionen ikke særlig nyttig. Men i fysik, når du har at gøre med at gå fra et område uden partikler, der pludselig findes på kun et tidspunkt, er det ganske nyttigt.
Kilde til delta-funktionen
I sin bog fra 1930, Principper for kvantemekanik, Engelsk teoretisk fysiker Paul Dirac lagde nøgleelementerne i kvantemekanikken op, inklusive bra-ket-notationen og også hans Dirac delta-funktion. Disse blev standardbegreber inden for kvantemekanik inden for Schrodinger ligning.