Matematiske egenskaber ved bølger

Fysiske bølger, eller mekaniske bølger, dannes gennem vibration af et medium, det være sig en streng, jordskorpen eller partikler af gasser og væsker. Bølger har matematiske egenskaber, der kan analyseres for at forstå bølgenes bevægelse. Denne artikel introducerer disse generelle bølgeegenskaber snarere end hvordan man anvender dem i specifikke fysiske situationer.

Der er to typer af mekaniske bølger.

A er sådan, at mediets forskydninger er vinkelret på tværs af bølgens bevægelsesretning langs mediet. At vibrere en streng i periodisk bevægelse, så bølgerne bevæger sig langs den, er en tværgående bølge, ligesom bølger i havet.

EN langsgående bølge er sådan, at mediet er forskudt frem og tilbage i samme retning som selve bølgen. Lydbølger, hvor luftpartiklerne skubbes sammen i kørselsretningen, er et eksempel på en langsgående bølge.

Selvom bølgerne, der er omtalt i denne artikel, vil henvise til rejser i et medium, kan matematikken introduceret her bruges til at analysere egenskaber ved ikke-mekaniske bølger. Elektromagnetisk stråling er for eksempel i stand til at rejse gennem tomt rum, men har stadig de samme matematiske egenskaber som andre bølger. F.eks

1. Bølger kan ses som en forstyrrelse i mediet omkring en ligevægtstilstand, som generelt er i ro. Energien til denne forstyrrelse er hvad der forårsager bølgebevægelsen. En pulje af vand er i balance, når der ikke er bølger, men så snart en sten kastes i den, forstyrres partiklenes ligevægt, og bølgebevægelsen begynder.
2. Forstyrrelsen i bølgen rejser, eller propogates, med en bestemt hastighed, kaldet bølgehastighed (v).
3. Bølger transporterer energi, men ikke noget. Mediet i sig selv rejser ikke; de individuelle partikler gennemgår frem og tilbage eller op og ned bevægelse omkring ligevægtspositionen.

For matematisk at beskrive bølgebevægelse henviser vi til begrebet a bølgefunktion, der til enhver tid beskriver positionen af ​​en partikel i mediet. Den mest basale af bølgefunktioner er sinusbølgen eller sinusbølgen, som er en periodisk bølge (dvs. en bølge med gentagen bevægelse).

Det er vigtigt at bemærke, at bølgefunktionen ikke skildrer den fysiske bølge, men snarere er det en graf over forskydningen omkring ligevægtspositionen. Dette kan være et forvirrende koncept, men det nyttige er, at vi kan bruge en sinusformet bølge til at skildre mest periodiske bevægelser, såsom at bevæge sig i en cirkel eller svinge en pendul, som ikke nødvendigvis ser bølgelignende ud, når du ser det faktiske bevægelse.

• bølgehastighed (v) - hastigheden på bølgens udbredelse
• amplitude (EN) - den maksimale størrelse af forskydningen fra ligevægt i SI-enheder på meter. Generelt er det afstanden fra ligevægts midtpunktet for bølgen til dens maksimale forskydning, eller det er halvdelen af ​​den samlede forskydning af bølgen.
• periode (T) - er tiden for en bølgecyklus (to impulser, eller fra crest til crest eller trau til truge), i SI-enheder på sekunder (skønt det kan kaldes "sekunder per cyklus").
• frekvens (f) - antallet af cyklusser i en tidsenhed. SI-frekvensenheden er hertz (Hz) og

  1 Hz = 1 cyklus / s = 1 sek^-1

• vinkelfrekvens (ω) - er 2π gange frekvensen i SI-enheder af radianer pr. sekund.
• bølgelængde (λ) - afstanden mellem to punkter på tilsvarende positioner på hinanden følgende gentagelser i bølgen, så (for eksempel) fra den ene kam eller trugen til den næste, i SI-enheder meter.
• bølgetal (k) - også kaldet udbredelse konstant, denne nyttige mængde er defineret som 2 π divideret med bølgelængden, så SI-enhederne er radianer pr. meter.
• puls - en halv bølgelængde fra ligevægten tilbage

Nogle nyttige ligninger til definition af ovennævnte mængder er:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = VK

Den lodrette placering af et punkt på bølgen, y, kan findes som en funktion af den vandrette position, x, og tiden, t, når vi ser på det. Vi takker den venlige matematiker for at have gjort dette arbejde for os og opnå følgende nyttige ligninger til at beskrive bølgebevægelsen:

y(x, t) = EN synd ω(t - x/v) = EN synd 2π f(t - x/v)

y(x, t) = EN synd 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = EN synd (ω t - kx)

Et sidste træk ved bølgefunktionen er at anvende calculus at tage det andet derivat giver udbyttet bølgeforligning, som er et spændende og undertiden nyttigt produkt (som vi endnu en gang vil takke matematikerne for og acceptere uden at bevise det):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Den anden derivat af y med respekt for x svarer til det andet derivat af y med respekt for t divideret med den firkantede bølgehastighed. Den vigtigste nyttighed af denne ligning er den når det sker, ved vi, at funktionen y fungerer som en bølge med bølgehastighed v og derfor, situationen kan beskrives ved hjælp af bølgefunktionen.