Sandsynligheder for at rulle tre terninger

Terninger giver fantastiske illustrationer til begreber med sandsynlighed. De mest almindeligt anvendte terninger er terninger med seks sider. Her vil vi se, hvordan man beregner sandsynligheder for rullning af tre standard terninger. Det er et relativt standardproblem at beregne sandsynligheden for summen opnået ved rulle to terninger. Der er i alt 36 forskellige ruller med to terninger, med en hvilken som helst sum fra 2 til 12 mulige.Hvordan ændres problemet, hvis vi tilføjer flere terninger?

Ligesom en dør har seks resultater og to terninger har 6² = 36 resultater, sandsynlighedseksperimentet med at rulle tre terninger har 6³ = 216 resultater. Denne idé generaliseres yderligere for flere terninger. Hvis vi ruller n terninger, så er der 6ⁿ udfald.

Vi kan også overveje de mulige summer fra rulning af flere terninger. Den mindste mulige sum opstår, når alle terningerne er den mindste eller en hver. Dette giver en sum på tre, når vi kaster tre terninger. Det største antal på en matrice er seks, hvilket betyder, at den størst mulige sum opstår, når alle tre terninger er seksere. Summen af ​​denne situation er 18.

Hvornår n terninger rulles, den mindst mulige sum er n og den størst mulige sum er 6n.

• Der er en mulig måde tre terninger på i alt 3
• 3 måder for 4
• 6 til 5
• 10 til 6
• 15 for 7
• 21 til 8
• 25 for 9
• 27 for 10
• 27 for 11
• 25 for 12
• 21 for 13
• 15 for 14
• 10 til 15
• 6 til 16
• 3 for 17
• 1 for 18

Som omtalt ovenfor inkluderer de mulige summer for tre terninger hvert tal fra tre til 18. Sandsynlighederne kan beregnes ved hjælp af tælle strategier og anerkender, at vi leder efter måder at opdele et tal i nøjagtigt tre hele tal. For eksempel er den eneste måde at få en sum af tre på 3 = 1 + 1 + 1. Da hver dyse er uafhængig af de andre, kan en sum som fire opnås på tre forskellige måder:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Yderligere tælleargumenter kan bruges til at finde antallet af måder at danne de andre summer på. Partitionerne for hver sum følger:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Når tre forskellige tal danner partitionen, såsom 7 = 1 + 2 + 4, er der 3! (3x2x1) forskellige måder at permutere disse tal. Så dette tæller med tre resultater i prøveområdet. Når to forskellige numre danner partitionen, er der tre forskellige måder at permutere disse tal på.

Vi deler det samlede antal måder at få hver sum på med det samlede antal resultater i prøve pladseller 216. Resultaterne er:

• Sandsynlighed for et beløb på 3: 1/216 = 0,5%
• Sandsynlighed for et beløb på 4: 3/216 = 1,4%
• Sandsynlighed for et beløb på 5: 6/216 = 2,8%
• Sandsynlighed for et beløb på 6: 10/216 = 4,6%
• Sandsynlighed for et beløb på 7: 15/216 = 7,0%
• Sandsynlighed for et beløb på 8: 21/216 = 9,7%
• Sandsynlighed for et beløb på 9: 25/216 = 11,6%
• Sandsynlighed for et beløb på 10: 27/216 = 12,5%
• Sandsynlighed for et beløb på 11: 27/216 = 12,5%
• Sandsynlighed for et beløb på 12: 25/216 = 11,6%
• Sandsynlighed for et beløb på 13: 21/216 = 9,7%
• Sandsynlighed for et beløb på 14: 15/216 = 7,0%
• Sandsynlighed for et beløb på 15: 10/216 = 4,6%
• Sandsynlighed for et beløb på 16: 6/216 = 2,8%
• Sandsynlighed for et beløb på 17: 3/216 = 1,4%
• Sandsynlighed for et beløb på 18: 1/216 = 0,5%

Som det kan ses, er de ekstreme værdier på 3 og 18 mindst sandsynlige. De beløb, der er nøjagtigt i midten, er de mest sandsynlige. Dette svarer til hvad der blev observeret, da to terninger blev rullet.