Hvad er den Cauchy distribution

Én distribution af en tilfældig variabel er vigtig ikke for dens applikationer, men for hvad den fortæller os om vores definitioner. Cauchy-fordelingen er et sådant eksempel, sommetider benævnt et patologisk eksempel. Årsagen til dette er, at selv om denne distribution er veldefineret og har forbindelse til et fysisk fænomen, har distributionen ikke et middel eller en varians. Faktisk har denne tilfældige variabel ikke en øjeblik genererende funktion.

Vi definerer Cauchy-distributionen ved at overveje en spinner, såsom typen i et brætspil. Centret af denne spinner vil være forankret på y akse ved punktet (0, 1). Efter spinding af spinneren forlænger vi linjesegmentet for spineren, indtil den krydser x-aksen. Dette defineres som vores tilfældige variabel x.

Vi lader w betegne den mindste af de to vinkler, som spinneren laver med y akse. Vi antager, at det er lige sandsynligt, at denne spinner danner enhver vinkel som en anden, og derfor har W en ensartet fordeling, der spænder fra -π / 2 til π / 2.

Grundlæggende trigonometri giver os en forbindelse mellem vores to tilfældige variabler:

x = tanW.

Den kumulative fordelingsfunktion afxer afledt som følger:

H(x) = P(x < x) = P(tanW < x) = P(W < arctanx)

Vi bruger derefter det faktum, atW er ensartet, og det giver os:

H(x) = 0.5 + (arctanx)/π

For at opnå sandsynlighedstæthedsfunktionen differentierer vi den kumulative densitetsfunktion. Resultatet er h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Det, der gør Cauchy-distributionen interessant, er, at selv om vi har defineret den ved hjælp af det fysiske system af a tilfældig spinner, en tilfældig variabel med en Cauchy-fordeling har ikke en gennemsnit, varians eller øjeblik generering fungere. Alle øjeblikke om oprindelsen, der bruges til at definere disse parametre, findes ikke.

Vi begynder med at overveje middelværdien. Gennemsnittet er defineret som den forventede værdi af vores tilfældige variabel og således E [x] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Vi integrerer ved hjælp af substitution. Hvis vi sætter u = 1 +x² så ser vi, at du = 2x dx. Efter udskiftning konvergerer det resulterende ukorrekte integral ikke. Dette betyder, at den forventede værdi ikke findes, og at middelværdien er udefineret.

Tilsvarende er variansen og det øjeblik, der genererer funktionen, ikke defineret.

Cauchy-distributionen er opkaldt efter den franske matematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). På trods af at denne distribution blev navngivet til Cauchy, blev information om distributionen først offentliggjort af Poisson.