Hvad er De Morgan's love?

Matematisk statistik kræver undertiden brug af sætteori. De Morgan's love er to udsagn, der beskriver samspillet mellem forskellige sætteoriske operationer. Lovene er gældende for alle to sæt EN og B:

1. (EN ∩ B)^C = EN^C U B^C.
2. (EN U B)^C = EN^C ∩ B^C.

Når vi har forklaret, hvad hver af disse udsagn betyder, vil vi se på et eksempel på hver af disse anvendte.

For at forstå, hvad De Morgan's Law siger, skal vi huske nogle definitioner af sætteorien. Specifikt skal vi vide om Union og vejkryds af to sæt og komplementet til et sæt.

De Morgan's love vedrører samspillet mellem fagforeningen, skæringspunktet og komplementet. Husk at:

• Krydset mellem sætene EN og B består af alle elementer, der er fælles for begge EN og B. Krydset er angivet med EN ∩ B.
• Sammensætningen af ​​sæt EN og B består af alle elementer, der i begge EN eller B, inklusive elementerne i begge sæt. Krydset er betegnet med A U B.
• Komplementet af sættet EN består af alle elementer, der ikke er elementer i EN. Dette komplement betegnes af A^C.

Nu, hvor vi har husket disse elementære operationer, vil vi se erklæringen om De Morgan's Laws. For hvert sæt sæt EN og B vi har:

1. (EN ∩ B)^C = EN^C U B^C
2. (EN U B)^C = EN^C ∩ B^C

Disse to udsagn kan illustreres ved hjælp af Venn-diagrammer. Som det ses nedenfor, kan vi demonstrere ved hjælp af et eksempel. For at demonstrere, at disse udsagn er rigtige, skal vi bevise dem ved at bruge definitioner af sætteorien operationer.

Overvej for eksempel sæt af reelle tal fra 0 til 5. Vi skriver dette i intervalnotation [0, 5]. Inden for dette sæt har vi EN = [1, 3] og B = [2, 4]. Efter anvendelse af vores elementære operationer har vi desuden:

• Komplementet EN^C = [0, 1) U (3, 5)
• Komplementet B^C = [0, 2) U (4, 5)
• Forbundet EN U B = [1, 4]
• Krydset EN ∩ B = [2, 3]

Vi begynder med at beregne unionen EN^C U B^C. Vi ser, at foreningen af ​​[0, 1) U (3, 5] med [0, 2) U (4, 5] er [0, 2) U (3, 5]. Krydset EN ∩ B er [2, 3]. Vi ser, at komplementet til dette sæt [2, 3] også er [0, 2) U (3, 5]. På denne måde har vi demonstreret det EN^C U B^C = (EN ∩ B)^C.

Nu ser vi krydset mellem [0, 1) U (3, 5] med [0, 2) U (4, 5] er [0, 1) U (4, 5]. Vi ser også, at komplementet til [1, 4] også er [0, 1) U (4, 5]. På denne måde har vi demonstreret det EN^C ∩ B^C = (EN U B)^C.

Gennem logikens historie er folk som Aristoteles og William af Ockham har fremsat udsagn svarende til De Morgan's Laws.

De Morgan's love er opkaldt efter Augustus De Morgan, der levede fra 1806-1871. Selvom han ikke opdagede disse love, var han den første til at introducere disse udsagn formelt ved hjælp af en matematisk formulering i propositionslogik.