Sådan udledes formlen til kombinationer

Efter at have set formler trykt i en lærebog eller skrevet på tavlen af ​​en lærer, er det undertiden overraskende at finde ud af, at mange af disse formler kan stammer fra nogle grundlæggende definitioner og omhyggelig tanke. Dette er især sandt, når man undersøger formlen for kombinationer. Afledningen af ​​denne formel er virkelig bare afhængig af multiplikationsprincippet.

Antag, at der er en opgave at gøre, og denne opgave er opdelt i i alt to trin. Det første trin kan udføres i k måder, og det andet trin kan udføres i n måder. Dette betyder, at efter multiplicerende disse numre sammen, antallet af måder at udføre opgaven på er nk.

For eksempel, hvis du har ti slags is at vælge imellem og tre forskellige toppings, hvor mange en scoop, en topping sundaes kan du lave? Multiplicer tre med 10 for at få 30 solaer.

Brug nu multiplikationsprincippet til at udlede formlen for antallet af kombinationer af r elementer hentet fra et sæt af n elementer. Lade

Tænk over, hvad der sker, når du danner en permutation af r elementer fra i alt n. Se på dette som en totrinsproces. Vælg først et sæt med r elementer fra et sæt af n. Dette er en kombination, og der er C(n, r) måder at gøre dette på. Det andet trin i processen er at bestille r elementer med r valg til det første, r - 1 valg for det andet, r - 2 for den tredje, 2 valg for den næstsidste og 1 for den sidste. Efter multiplikationsprincippet findes der r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! måder at gøre dette på. Denne formel er skrevet med faktorial notation.

For at sammenfatte, P(n,r ), antallet af måder at danne en permutation af r elementer fra i alt n bestemmes af:

1. Danner en kombination af r elementer ud af i alt n i nogen af C(n,r ) måder
2. Bestiller disse r elementer hvilken som helst af r! måder.

Ved multiplikationsprincippet er antallet af måder at danne en permutation på P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Brug af formlen til permutationer P(n,r ) = n!/(n - r)!, der kan substitueres i ovenstående formel:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Løs nu dette antallet af kombinationer, C(n,r ), og se det C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Som demonstreret kan en lille smule tanke og algebra gå langt. Andre formler i sandsynlighed og statistik kan også udledes med nogle omhyggelige anvendelser af definitioner.