En operation, der ofte bruges til at danne nye sæt fra gamle, kaldes unionen. I almindelig brug betyder ordet union en sammenblanding, såsom fagforeninger i organiseret arbejdskraft eller Unionens stat adressere, at U.S. Præsident afholder inden en fælles samling i Kongressen. I matematisk forstand bevarer forening af to sæt denne idé om at samle. Mere præcist foreningen af to sæt EN og B er sættet af alle elementer x sådan at x er et element i sættet EN eller x er et element i sættet B. Ordet, der betyder, at vi bruger en fagforening, er ordet "eller".
Ordet "eller"
Når vi bruger ordet "eller" i daglige samtaler, er vi måske ikke klar over, at dette ord bruges på to forskellige måder. Vejen er normalt udledt ud fra samtalen. Hvis du blev spurgt "Vil du have kyllingen eller bøf?" den sædvanlige implikation er, at du måske har den ene eller den anden, men ikke begge dele. Kontrast dette med spørgsmålet, "Vil du gerne have smør eller creme på din bagt kartoffel?" Her "eller" er brugt i inkluderende forstand, idet du kun kunne vælge smør, kun creme fraiche eller både smør og surt fløde.
I matematik bruges ordet "eller" i inkluderende forstand. Så erklæringen, "x er et element af EN eller et element af B"betyder, at en af de tre er mulige:
- x er et element af retfærdige EN og ikke et element af B
- x er et element af retfærdige B og ikke et element af EN.
- x er et element af begge dele EN og B. (Det kunne vi også sige x er et element i krydset mellem EN og B
Eksempel
For et eksempel på, hvordan forening af to sæt danner et nyt sæt, lad os overveje sætene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For at finde foreningen mellem disse to sæt, lister vi simpelthen hvert element, vi ser, og er omhyggelige med ikke at duplikere nogen elementer. Tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 er i det ene eller det andet sæt, derfor er foreningen af EN og B er {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Notation for Union
Ud over at forstå begreberne angående sætteorioperationer er det vigtigt at kunne læse symboler, der bruges til at betegne disse operationer. Symbolet brugt til forening af de to sæt EN og B er givet af EN ∪ B. En måde at huske symbolet ∪ henviser til union på er at bemærke dets lighed med en hovedstad U, hvilket er forkortelse for ordet "fagforening." Vær forsigtig, fordi symbolet for forening er meget lig symbolet for vejkryds. Den ene opnås fra den anden ved hjælp af en lodret flip.
For at se denne notation i handling, se ovenstående eksempel tilbage. Her havde vi sæt EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Så vi ville skrive den indstillede ligning EN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
Union med det tomme sæt
En grundlæggende identitet, der involverer fagforeningen, viser os, hvad der sker, når vi tager foreningen mellem ethvert sæt med det tomme sæt, betegnet med # 8709. Det tomme sæt er det sæt uden elementer. Så at forbinde dette til ethvert andet sæt vil ikke have nogen effekt. Med andre ord, forening af ethvert sæt med det tomme sæt giver os det originale sæt tilbage
Denne identitet bliver endnu mere kompakt med brugen af vores notation. Vi har identiteten: EN ∪ ∅ = EN.
Union med det universelle sæt
For den anden ekstrem, hvad sker der, når vi undersøger forening af et sæt med det universelle sæt? Da det universelle sæt indeholder hvert element, kan vi ikke tilføje noget andet til dette. Så foreningen eller ethvert sæt med det universelle sæt er det universelle sæt.
Igen hjælper vores notation os med at udtrykke denne identitet i et mere kompakt format. For ethvert sæt EN og det universelle sæt U, EN ∪ U = U.
Andre identiteter, der involverer Unionen
Der er mange flere sæt identiteter, der involverer brugen af fagforeningsoperationen. Selvfølgelig er det altid godt at øve sig ved hjælp af sprog i sætteori. Nogle få af de mere vigtige er anført nedenfor. For alle sæt EN, og B og D vi har:
- Refleksiv ejendom: EN ∪ EN =EN
- Kommutativ ejendom: EN ∪ B = B ∪ EN
- Associativ ejendom: (EN ∪ B) ∪ D =EN ∪ (B ∪ D)
- DeMorgan's Law I: (EN ∩ B)C = ENC ∪ BC
- DeMorgan's Law II: (EN ∪ B)C = ENC ∩ BC