Forventet værdi af en binomial distribution

Binomiale fordelinger er en vigtig klasse af diskrete sandsynlighedsfordelinger. Disse typer distributioner er en serie af n uafhængige Bernoulli-forsøg, som hver har en konstant sandsynlighed p af succes. Som med enhver sandsynlighedsfordeling vil vi gerne vide, hvad dets middel eller centrum er. Til dette spørger vi virkelig: ”Hvad er? forventet værdi af binomialfordelingen? ”

Hvis vi nøje tænker over a binomial distribution, er det ikke svært at bestemme, at det forventede værdien af ​​denne type sandsynlighedsfordeling er np. For et par hurtige eksempler på dette, skal du overveje følgende:

• Hvis vi kaster 100 mønter, og x er antallet af hoveder, den forventede værdi af x er 50 = (1/2) 100.
• Hvis vi tager en multiple choice-test med 20 spørgsmål, og hvert spørgsmål har fire valg (kun et af hvilket er korrekt), så at gætte tilfældigt ville betyde, at vi kun forventer at få (1/4) 20 = 5 spørgsmål korrekt.

I begge disse eksempler ser vi det E [X] = n p. To sager er næppe nok til at nå en konklusion. Selvom intuition er et godt værktøj til at guide os, er det ikke nok at danne et matematisk argument og bevise, at noget er sandt. Hvordan beviser vi endeligt, at den forventede værdi af denne distribution er

Fra definitionen af ​​forventet værdi og sandsynlighedsmassefunktionen for binomial distribution af n forsøg med sandsynlighed for succes p, kan vi demonstrere, at vores intuition stemmer overens med frugterne af matematisk strenghed. Vi er nødt til at være noget forsigtige i vores arbejde og hurtige i vores manipulationer af den binomiale koefficient, der er givet ved formlen for kombinationer.

Vi begynder med at bruge formlen:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) s^x(1-p)^{n - x}.

Da hvert valgperiode multipliceres med x, værdien af ​​det udtryk, der svarer til x = 0 vil være 0, og så kan vi faktisk skrive:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) s ^x (1 - p) ^{n - x} .

Ved at manipulere de faktorer, der er involveret i udtrykket for C (n, x) vi kan omskrive

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Dette er sandt, fordi:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / ((( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Den følger det:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) s ^x (1 - p) ^{n - x} .

Vi udregner n og en p fra ovenstående udtryk:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) s ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

En ændring af variabler r = x - 1 giver os:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) s ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Ved binomialformlen (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} oversigten ovenfor kan skrives om:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Ovenstående argument har taget os langt. Fra begyndelsen kun med definitionen af ​​forventet værdi og sandsynlighedsmassefunktion for en binomial distribution, har vi bevist, at hvad vores intuition fortalte os. Den forventede værdi af binomial distributionB (n, p) er n p.