Sandsynligheden for at rulle en Yahtzee

Yahtzee er et terningespil, der involverer en kombination af chance og strategi. En spiller begynder deres tur med at rulle fem terninger. Efter denne rulle kan spilleren beslutte at rulle hvilket som helst antal terninger. Som højst er der i alt tre ruller for hver tur. Efter disse tre ruller indføres resultatet af terningerne på et resultatark. Dette score ark indeholder forskellige kategorier, f.eks fuldt hus eller store lige. Hver af kategorierne er tilfredse med forskellige kombinationer af terninger.

Den sværeste kategori at udfylde er en Yahtzee. En Yahtzee opstår, når en spiller ruller fem af det samme nummer. Hvor usandsynligt er en Yahtzee? Dette er et problem, der er meget mere kompliceret end at finde sandsynligheder for to eller endda tre terninger. Hovedårsagen er, at der er mange måder at få fem matchende terninger i løpet af tre ruller.

Vi kan beregne sandsynligheden for at rulle en Yahtzee ved hjælp af kombinatorikformlen til kombinationer og ved at opdele problemet i flere gensidigt eksklusivt tilfælde.

Den nemmeste sag at overveje er at få en Yahtzee med det samme på den første rulle. Vi vil først se på sandsynlighed at rulle en bestemt Yahtzee på fem to og derefter let udvide dette til sandsynligheden for nogen Yahtzee.

Sandsynligheden for at rulle en to er 1/6, og resultatet af hver dyse er uafhængig af resten. Således er sandsynligheden for at rulle fem to'er (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Sandsynligheden for at rulle fem af en slags hvilket som helst andet nummer er også 1/7776. Da der i alt er seks forskellige tal på en matrice, multiplicerer vi ovennævnte sandsynlighed med 6.

Dette betyder, at sandsynligheden for en Yahtzee på den første rulle er 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 procent.

Hvis vi ruller noget andet end fem af en slags første rulle, bliver vi nødt til at rulle nogle af vores terninger for at prøve at få en Yahtzee. Antag, at vores første rulle har fire af den slags. vi ville rulle den ene matrice, der ikke stemmer overens, og derefter få en Yahtzee på denne anden rulle.

Sandsynligheden for at rulle i alt fem to på denne måde findes som følger:

1. På den første rulle har vi fire to'er. Da der er en sandsynlighed for, at 1/6 for at rulle et to og 5/6 for ikke at rulle et to, multipliceres vi (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Enhver af de fem terninger rullet kunne være ikke-to. Vi bruger vores kombinationsformel til C (5, 1) = 5 til at tælle, hvor mange måder vi kan rulle fire to'er og noget, der ikke er et to.
3. Vi multiplicerer og ser, at sandsynligheden for at rulle nøjagtigt fire to på den første rulle er 25/7776.
4. På den anden rulle skal vi beregne sandsynligheden for at rulle en to. Dette er 1/6. Således er sandsynligheden for at rulle en Yahtzee af to på ovenstående måde (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

At finde sandsynligheden for at rulle en Yahtzee på denne måde findes ved at multiplicere ovennævnte sandsynlighed med 6, fordi der er seks forskellige tal på en matrice. Dette giver en sandsynlighed på 6 x 25/46656 = 0,32 procent.

Men dette er ikke den eneste måde at rulle en Yahtzee med to ruller på. Alle følgende sandsynligheder findes på omtrent samme måde som ovenfor:

• Vi kunne rulle tre af samme art og derefter to terninger, der matcher på vores anden rulle. Sandsynligheden for dette er 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 procent.
• Vi kunne rulle et matchende par, og på vores anden rulle tre terninger, der matcher. Sandsynligheden for dette er 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 procent.
• Vi kunne rulle fem forskellige terninger, gemme en dyse fra vores første rulle og derefter rulle fire terninger, der matcher på den anden rulle. Sandsynligheden for dette er (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 procent.

Ovenstående sager er gensidigt eksklusive. Dette betyder, at for at beregne sandsynligheden for at rulle en Yahtzee i to ruller, tilføjer vi ovennævnte sandsynligheder sammen, og vi har, er cirka 1,23 procent.

For den mest komplicerede situation endnu, vil vi nu undersøge sagen, hvor vi bruger alle tre af vores ruller til at få en Yahtzee. Vi kunne gøre dette på flere måder og skal redegøre for dem alle.

Sandsynligheden for disse muligheder er beregnet nedenfor:

• Sandsynligheden for at rulle fire af en slags, så intet, så matchende den sidste dyse på den sidste rulle er 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0.27 procent.
• Sandsynligheden for at rulle tre af en slags, så intet og derefter matche med det rigtige par på den sidste rulle er 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 procent.
• Sandsynligheden for at rulle et matchende par, derefter intet, derefter matche med de rigtige tre af den art på den tredje rulle er 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 procent.
• Sandsynligheden for at rulle en enkelt matrice, så intet der matcher dette, og derefter matche med de rigtige fire af den art på den tredje rulle er (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 procent.
• Sandsynligheden for at rulle tre af samme art, der matcher en yderligere matrice på den næste rulle, efterfulgt af matchende den femte matrice på den tredje rulle er 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 procent.
• Sandsynligheden for at rulle et par, matche et ekstra par på den næste rulle, efterfulgt af matching den femte matrice på den tredje rulle er 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 procent.
• Sandsynligheden for at rulle et par, matche en yderligere matrice på den næste rulle, efterfulgt af matchen med de sidste to terninger på den tredje rulle er 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 procent.
• Sandsynligheden for at rulle en af ​​en slags, en anden dør for at matche den på den anden rulle, og derefter er en tre i en slags på den tredje rulle (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 procent.
• Sandsynligheden for at rulle en af ​​en art, en tre af en art, der skal matche på den anden rulle, efterfulgt af en kamp på den tredje rulle er (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 procent.
• Sandsynligheden for at rulle en af ​​et slag, et par, der matcher den på den anden rulle, og derefter et andet par, der skal matche på den tredje rulle, er (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 procent.

Vi tilføjer alle ovennævnte sandsynligheder sammen for at bestemme sandsynligheden for at rulle en Yahtzee i tre ruller af terningerne. Denne sandsynlighed er 3,43 procent.

Sandsynligheden for en Yahtzee i en rulle er 0,08 procent, sandsynligheden for en Yahtzee i to ruller er 1,23 procent og sandsynligheden for en Yahtzee i tre ruller er 3,43 procent. Da hver af disse er gensidigt eksklusive, tilføjer vi sandsynlighederne sammen. Dette betyder, at sandsynligheden for at opnå en Yahtzee i en given drejning er cirka 4,74 procent. For at sætte dette i perspektiv, da 1/21 er cirka 4,74 procent, skal en spiller alene ved en tilfældighed forvente en Yahtzee en gang hver 21. omdrejning. I praksis kan det tage længere tid, da et indledende par kan kasseres for at rulle til noget andet, f.eks lige.