Øjeblikke i matematisk statistik involverer en grundlæggende beregning. Disse beregninger kan bruges til at finde en sandsynlighedsfordelings middel, varians og skævhed.
Antag, at vi har et sæt data med i alt ndiskrete point. En vigtig beregning, der faktisk er flere tal, kaldes sdet øjeblik. Det sdet øjeblik af datasættet med værdier x1, x2, x3,..., xn er givet ved formlen:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Brug af denne formel kræver, at vi er omhyggelige med vores rækkefølge af operationer. Vi er nødt til at gøre eksponenterne først, tilføje og derefter dele denne sum med n det samlede antal dataværdier.
En note om udtrykket 'øjeblik'
Begrebet øjeblik er taget fra fysik. I fysikken beregnes momentet for et system med punktmasser med en formel, der er identisk med den ovenfor, og denne formel bruges til at finde massens centrum for punkterne. I statistikker er værdierne ikke længere masser, men som vi vil se, måler øjeblikke i statistikker stadig noget i forhold til værdiers centrum.
Første øjeblik
For det første øjeblik sætter vi s = 1. Formlen for det første øjeblik er således:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Dette er identisk med formlen for prøven betyde.
Det første øjeblik af værdierne 1, 3, 6, 10 er (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Andet øjeblik
For det andet øjeblik vi sætter s = 2. Formlen for det andet øjeblik er:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Det andet øjeblik af værdierne 1, 3, 6, 10 er (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Tredje øjeblik
For det tredje øjeblik vi sætter s = 3. Formlen for det tredje øjeblik er:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Det tredje øjeblik af værdierne 1, 3, 6, 10 er (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Højere øjeblikke kan beregnes på en lignende måde. Bare udskift s i ovenstående formel med nummeret, der angiver det ønskede øjeblik.
Øjeblikke om middelværdien
En beslægtet idé er den af sdet øjeblik om middelværdien. I denne beregning udfører vi følgende trin:
- Beregn først gennemsnittet af værdierne.
- Træk derefter dette gennemsnit fra hver værdi.
- Hæv derefter hver af disse forskelle til sth magt.
- Tilføj nu numrene fra trin 3 sammen.
- Til sidst skal du dele denne sum med antallet af værdier, vi startede med.
Formlen for sdet øjeblik om middelværdien m af værdierne x1, x2, x3,..., xn gives af:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Første øjeblik om gennemsnittet
Det første øjeblik om middelværdien er altid lig med nul, uanset hvad datasættet er, at vi arbejder med. Dette kan ses på følgende:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Andet øjeblik om middelværdien
Det andet øjeblik om middelværdien opnås fra ovenstående formel ved indstillings = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Denne formel er ækvivalent med den for prøvevariansen.
Overvej for eksempel sæt 1, 3, 6, 10. Vi har allerede beregnet gennemsnittet for dette sæt til 5. Træk dette fra hver af dataværdierne for at opnå forskelle i:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Vi kvadrater hver af disse værdier og tilføjer dem sammen: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Del dette nummer til sidst med antallet af datapunkter: 46/4 = 11,5
Anvendelser af øjeblikke
Som nævnt ovenfor er det første øjeblik middelværdien, og det andet øjeblik omkring gennemsnittet er prøven varians. Karl Pearson introducerede brugen af det tredje øjeblik om gennemsnittet i beregningen skævhed og det fjerde øjeblik om gennemsnittet i beregningen af kurtosis.