Forståelse af ækvivalente ligninger i algebra

Ækvivalente ligninger er systemer med ligninger, der har de samme løsninger. Identificering og løsning af ækvivalente ligninger er en værdifuld færdighed, ikke kun i algebra klasse men også i hverdagen. Se på eksempler på ækvivalente ligninger, hvordan du løser dem for en eller flere variabler, og hvordan du muligvis bruger denne færdighed uden for et klasseværelse.

Key takeaways

De enkleste eksempler på ækvivalente ligninger har ikke nogen variabler. For eksempel er disse tre ligninger ækvivalente med hinanden:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

At erkende, at disse ligninger er ækvivalente, er stor, men ikke særlig nyttig. Normalt beder et ækvivalent ligningsproblem dig om at løse for en variabel for at se, om det er det samme (det samme

For eksempel er følgende ligninger ækvivalente:

• x = 5
• -2x = -10

I begge tilfælde er x = 5. Hvordan ved vi det? Hvordan løser du dette for ligningen "-2x = -10"? Det første trin er at kende reglerne for ækvivalente ligninger:

• Tilføjelse eller at trække det samme antal eller udtryk til begge sider af en ligning producerer en ækvivalent ligning.
• At multiplicere eller dividere begge sider af en ligning med det samme tal, der ikke er nul, producerer en ækvivalent ligning.
• At hæve begge sider af ligningen til samme ulige magt eller at tage den samme ulige rod vil producere en ækvivalent ligning.
• Hvis begge sider af en ligning er ikke-negativ, at hæve begge sider af en ligning til den samme jævne magt eller tage den samme lige rod vil give en ækvivalent ligning.

Gennemfør disse regler i praksis, afgør, om disse to ligninger er ækvivalente:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

For at løse dette skal du finde "x" for hver ligning. Hvis "x" er den samme for begge ligninger, er de ækvivalente. Hvis "x" er forskellig (dvs. ligningerne har forskellige rødder), er ligningerne ikke ækvivalente. For den første ligning:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (fratrækker begge sider med samme antal)
• x = 5

For den anden ligning:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (trækker begge sider fra med det samme tal)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dele begge sider af ligningen med det samme tal)
• x = 5

Så ja, de to ligninger er ækvivalente, fordi x = 5 i begge tilfælde.

Du kan bruge ækvivalente ligninger i det daglige liv. Det er især nyttigt, når du handler. For eksempel kan du lide en bestemt skjorte. Et firma tilbyder skjorten til $ 6 og har $ 12 forsendelse, mens et andet firma tilbyder skjorten til $ 7,50 og har $ 9 forsendelse. Hvilken skjorte har den bedste pris? Hvor mange skjorter (måske vil du have dem til venner) skulle du købe for at prisen skal være den samme for begge virksomheder?

For at løse dette problem, lad "x" være antallet af skjorter. Start med at indstille x = 1 til køb af en skjorte. For firma nr. 1:

• Pris = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

For firma nr. 2:

• Pris = 7,5 x 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = $ 16,50

Så hvis du køber en skjorte, tilbyder det andet firma en bedre aftale.

For at finde det punkt, hvor priserne er ens, skal du "x" forblive antallet af skjorter, men indstille de to ligninger lig med hinanden. Løs til "x" for at finde ud af, hvor mange skjorter du skal købe:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (subtraktion de samme tal eller udtryk fra hver side)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dividere begge sider med det samme tal, -1)
• x = 3 / 1,5 (dividere begge sider med 1,5)
• x = 2

Hvis du køber to skjorter, er prisen den samme, uanset hvor du får den. Du kan bruge den samme matematik til at bestemme, hvilket firma der giver dig en bedre aftale med større ordrer og også til at beregne, hvor meget du sparer ved at bruge det ene firma frem for det andet. Se, algebra er nyttigt!

Hvis du har to ligninger og to ukendte (x og y), kan du bestemme, om to sæt lineære ligninger er ækvivalente.

Hvis du f.eks. Får ligningerne:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Du kan bestemme, om følgende system er ækvivalent:

• -x + 4y = 5
• 7x-10y = -2

Til løse dette problem, find "x" og "y" for hvert ligningssystem. Hvis værdierne er de samme, er ligningssystemerne ækvivalente.

Start med det første sæt. At løse to ligninger med to variabler, isoler en variabel og sæt dens løsning i den anden ligning. Sådan isoleres variablen "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (tilsluttes til "x" i den anden ligning)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Tilslut nu "y" tilbage til begge ligninger for at løse for "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Når du arbejder igennem dette, får du til sidst x = 7/3.

For at besvare spørgsmålet, dig kunne anvende de samme principper på det andet sæt ligninger, der skal løses for "x" og "y" for at finde ud af, at ja, de er faktisk ækvivalente. Det er let at sidde fast i algebraen, så det er en god ide at tjekke dit arbejde ved hjælp af en online ligning solver.

Den kloge studerende vil dog bemærke, at de to sæt ligninger er ækvivalente uden at foretage nogen vanskelige beregninger overhovedet. Den eneste forskel mellem den første ligning i hvert sæt er, at den første er tre gange den anden (ækvivalent). Den anden ligning er nøjagtig den samme.