Sådan beregnes Powerball-odds

Powerball er en multistat lotteri det er ret populært på grund af dets jackpots på flere millioner dollars. Nogle af disse jackpots når værdier, der er godt over $ 100 millioner. En interessant søgenion fra en probabilistisk Forstand er, ”Hvordan er det odds beregnet på sandsynligheden for vinder Powerball?”

Først undersøger vi reglerne i Powerball, som det i øjeblikket er konfigureret. Under hver tegning blandes to trommer fuld af kugler grundigt og randomiseres. Den første tromme indeholder hvide bolde nummereret 1 til 59. Fem tegnes uden udskiftning fra denne tromme. Den anden tromme har røde kugler, der er nummereret fra 1 til 35. En af disse tegnes. Formålet er at matche så mange af disse numre som muligt.

Den fulde jackpot vindes, når alle seks numre, der er valgt af en spiller, matcher perfekt med de trukket bolde. Der er præmier med mindre værdier for delvis matching, i alt ni forskellige måder at vinde et dollarsum fra Powerball. Disse måder at vinde er:

• Ved at matche alle fem hvide bolde og den røde bold vinder den største præmie jackpot. Værdien af ​​dette varierer afhængigt af hvor længe det er gået siden nogen har vundet denne storslåede præmie.
  instagram viewer
• At matche alle fem hvide bolde, men ikke den røde bold, vinder $ 1.000.000.
• At matche nøjagtigt fire af de fem hvide bolde og den røde bold vinder $ 10.000.
• At matche nøjagtigt fire af de fem hvide bolde, men ikke den røde bold, vinder $ 100.
• At matche nøjagtigt tre af de fem hvide bolde og den røde bold vinder $ 100.
• Ved at matche nøjagtigt tre af de fem hvide bolde, men ikke den røde bold, vinder $ 7.
• At matche nøjagtigt to af de fem hvide bolde og den røde bold vinder $ 7.
• At matche nøjagtigt en af ​​de fem hvide bolde og den røde bold vinder $ 4.
• At matche den røde bold, men ingen af ​​de hvide bolde vinder $ 4.

Vi vil se på, hvordan man beregner hver af disse sandsynligheder. Gennem disse beregninger er det vigtigt at bemærke, at rækkefølgen af, hvordan kuglerne kommer ud af tromlen, ikke er vigtig. Det eneste, der betyder noget, er det sæt bolde, der trækkes. Af denne grund involverer vores beregninger kombinationer og ikke permutationer.

Også nyttigt i hver beregning nedenfor er det samlede antal kombinationer, der kan trækkes. Vi har valgt fem blandt de 59 hvide bolde, eller bruger notationen til kombinationer, C (59, 5) = 5,006,386 måder, dette kan ske på. Der er 35 måder at vælge den røde bold, hvilket resulterer i 35 x 5,006,386 = 175,223,510 mulige valg.

Selvom jackpotten til at matche alle seks bolde er den sværeste at få, er det den nemmeste sandsynlighed for at beregne. Ud af mængden af ​​175.223.510 mulige valg er der nøjagtigt en måde at vinde jackpotten på. Således er sandsynligheden for, at en bestemt billet vinder jackpotten 1 / 175.223.510.

For at vinde 1.000.000 $ er vi nødt til at matche de fem hvide bolde, men ikke de røde. Der er kun én måde at matche alle fem på. Der er 34 måder at ikke matche den røde bold på. Så sandsynligheden for at vinde $ 1.000.000 er 34 / 175.223.510, eller cirka 1 / 5.153.633.

For en præmie på $ 10.000 skal vi matche fire af de fem hvide bolde og den røde. Der er C (5,4) = 5 måder at matche fire af de fem. Den femte bold skal være en af ​​de resterende 54, der ikke blev trukket, og der er derfor C (54, 1) = 54 måder, dette kan ske. Der er kun 1 måde at matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 5 x 54 x 1 = 270 måder at matche nøjagtigt fire hvide bolde og den røde, hvilket giver en sandsynlighed på 270 / 175.223.510, eller cirka 1 / 648.976.

En måde at vinde en præmie på $ 100 er at matche fire af de fem hvide bolde og ikke matche den røde. Som i det foregående tilfælde er der C (5,4) = 5 måder at matche fire af de fem. Den femte bold skal være en af ​​de resterende 54, der ikke blev trukket, og der er derfor C (54, 1) = 54 måder, dette kan ske. Denne gang er der 34 måder at ikke matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 5 x 54 x 34 = 9180 måder at matche nøjagtigt fire hvide bolde, men ikke den røde, hvilket giver en sandsynlighed for 9180 / 175.223.510, eller cirka 1/19.088.

En anden måde at vinde en præmie på $ 100 er at matche nøjagtigt tre af de fem hvide bolde og også matche den røde. Der er C (5,3) = 10 måder at matche tre af de fem. De resterende hvide kugler skal være en af ​​de resterende 54, der ikke blev trukket, og der er derfor C (54, 2) = 1431 måder, dette kan ske. Der er en måde at matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 10 x 1431 x 1 = 14.310 måder at matche nøjagtigt tre hvide bolde og den røde, hvilket giver en sandsynlighed på 14.310 / 175.223.510, eller cirka 1 / 12.245.

En måde at vinde en præmie på $ 7 er at matche nøjagtigt tre af de fem hvide bolde og ikke matche den røde. Der er C (5,3) = 10 måder at matche tre af de fem. De resterende hvide kugler skal være en af ​​de resterende 54, der ikke blev trukket, og der er derfor C (54, 2) = 1431 måder, dette kan ske. Denne gang er der 34 måder at ikke matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 10 x 1431 x 34 = 486.540 måder at matche nøjagtigt tre hvide bolde, men ikke den røde, hvilket giver en sandsynlighed på 486.540 / 175.223.510 eller cirka 1/360.

En anden måde at vinde en pris på $ 7 er at matche nøjagtigt to af de fem hvide bolde og også matche den røde. Der er C (5,2) = 10 måder at matche to af de fem. De resterende hvide kugler skal være en af ​​de resterende 54, der ikke blev trukket, og der er derfor C (54, 3) = 24,804 måder, dette kan ske. Der er en måde at matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 10 x 24.804 x 1 = 248.040 måder at matche nøjagtigt to hvide bolde og den røde, hvilket giver en sandsynlighed på 248.040 / 175.223.510, eller cirka 1/706.

En måde at vinde en pris på $ 4 er at matche nøjagtigt en af ​​de fem hvide bolde og også matche den røde. Der er C (5,4) = 5 måder at matche en af ​​de fem på. De resterende hvide bolde skal være en af ​​de resterende 54, der ikke blev trukket, og der er derfor C (54, 4) = 316,251 måder, dette kan ske. Der er en måde at matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 måder at matche nøjagtigt en hvid kugle og den røde, hvilket giver en sandsynlighed på 1.581.255 / 175.223.510 eller cirka 1/111.

En anden måde at vinde en pris på $ 4 er at matche ingen af ​​de fem hvide bolde, men matche den røde. Der er 54 kugler, der ikke er en af ​​de fem udvalgte, og vi har C (54, 5) = 3.162.510 måder, dette kan ske. Der er en måde at matche den røde bold på. Dette betyder, at der er 3.162.510 måder at matche ingen af ​​bolde med undtagelse af den røde, hvilket giver en sandsynlighed på 3.162.510 / 175.223.510, eller cirka 1/55.

Denne sag er noget modstridende. Der er 36 røde kugler, så vi tror måske, at sandsynligheden for at matche en af ​​dem ville være 1/36. Dette forsømmer dog de andre betingelser, som de hvide kugler pålægger. Mange kombinationer, der involverer den rigtige røde bold, inkluderer også kampe på nogle af de hvide bolde.