Det betinget sandsynlighed af en begivenhed er sandsynligheden for, at en begivenhedEN forekommer i betragtning af at en anden begivenhed B har allerede fundet sted. Denne type sandsynlighed beregnes ved at begrænse prøve plads som vi kun arbejder med til det sæt B.
Formlen for betinget sandsynlighed kan omskrives ved hjælp af en vis grundlæggende algebra. I stedet for formlen:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),
vi multiplicerer begge sider med P (B) og opnå den ækvivalente formel:
P (A | B) x P (B) = P (A ∩ B).
Vi kan derefter bruge denne formel til at finde sandsynligheden for, at to begivenheder opstår ved hjælp af den betingede sandsynlighed.
Brug af formler
Denne version af formlen er mest nyttig, når vi kender den betingede sandsynlighed for EN givet B såvel som sandsynligheden for begivenheden B. Hvis dette er tilfældet, kan vi beregne sandsynligheden for vejkryds af EN givet B ved blot at multiplicere to andre sandsynligheder. Sandsynligheden for skæringspunktet mellem to begivenheder er et vigtigt tal, fordi det er sandsynligheden for, at begge begivenheder forekommer.
eksempler
Antag, at vi ved vores første eksempel kender følgende værdier for sandsynligheder: P (A | B) = 0,8 og P (B) = 0,5. Sandsynligheden P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.
Selvom ovenstående eksempel viser, hvordan formlen fungerer, er den muligvis ikke den mest lysende for, hvor nyttig ovenstående formel er. Så vi vil overveje et andet eksempel. Der er en gymnasium med 400 studerende, hvoraf 120 er mandlige og 280 kvinder. Af mændene er 60% i øjeblikket tilmeldt et matematikforløb. Af kvinderne er 80% i øjeblikket tilmeldt et matematikforløb. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt studerende er en kvinde, der er indskrevet i et matematikforløb?
Her lader vi F betegner begivenheden "Udvalgt studerende er en kvinde" og M begivenheden "Den valgte studerende er tilmeldt et matematikforløb." Vi er nødt til at bestemme sandsynligheden for krydset mellem disse to begivenheder, eller P (M ∩ F).
Ovenstående formel viser os det P (M ∩F) = P (M | F) x P (F). Sandsynligheden for, at en kvinde er valgt, er P (F) = 280/400 = 70%. Den betingede sandsynlighed for, at den valgte studerende er indskrevet i et matematikforløb, forudsat at en kvindelig er valgt P (M | F) = 80%. Vi multiplicerer disse sandsynligheder sammen og ser, at vi har en 80% x 70% = 56% sandsynlighed for at vælge en kvindelig studerende, der er indskrevet i et matematikforløb.
Test for uafhængighed
Ovenstående formel, der vedrører betinget sandsynlighed og sandsynligheden for kryds giver os en nem måde at se, om vi har at gøre med to uafhængige begivenheder. Siden begivenheder EN og B er uafhængige, hvis P (A | B) = P (A), følger det af ovenstående formel, at begivenheder EN og B er uafhængige, hvis og kun hvis:
P (A) x P (B) = P (A ∩ B)
Så hvis vi ved det P (A) = 0.5, P (B) = 0,6 og P (A ∩ B) = 0,2, uden at vide noget andet, kan vi bestemme, at disse begivenheder ikke er uafhængige. Vi ved det fordi P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Dette er ikke sandsynligheden for skæringspunktet mellem EN og B.