Sandsynlighed for forening af 3 eller flere sæt

Når der er to begivenheder gensidigt eksklusivt, sandsynligheden for deres Union kan beregnes med tilføjelsesregel. Vi ved, at rullering af et tal større end fire eller et antal mindre end tre er gensidigt eksklusive begivenheder, med intet til fælles. Så for at finde sandsynligheden for denne begivenhed tilføjer vi blot sandsynligheden for, at vi ruller et tal større end fire til sandsynligheden for, at vi ruller et tal mindre end tre. I symboler har vi følgende, hvor hovedstaden P betegner "sandsynlighed for":

P(større end fire eller mindre end tre) = P(større end fire) + P(mindre end tre) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Hvis begivenhederne er ikke gensidigt eksklusivt, tilføjer vi ikke blot sandsynligheden for begivenhederne sammen, men vi er nødt til at trække sandsynligheden for vejkryds af begivenhederne. I betragtning af begivenhederne EN og B:

P(EN U B) = P(EN) + P(B) - P(EN ∩ B).

Her redegør vi for muligheden for at dobbeltregne de elementer, der er i begge dele EN og B, og det er derfor, vi trækker fra sandsynligheden for krydset.

Spørgsmålet, der opstår herfra, er: ”Hvorfor stoppe med to sæt? Hvad er sandsynligheden for forening af mere end to sæt? ”

Vi vil udvide ovenstående ideer til den situation, hvor vi har tre sæt, som vi vil betegne EN, B, og C. Vi antager ikke andet end dette, så der er mulighed for, at sætene har et ikke-tomt kryds. Målet vil være at beregne sandsynlighed for foreningen af ​​disse tre sæt, eller P (EN U B U C).

Ovenstående diskussion for to sæt er stadig gældende. Vi kan tilføje sandsynligheden for de enkelte sæt EN, B, og C, men ved at gøre dette har vi dobbeltoptællet nogle elementer.

Elementerne i krydset mellem EN og B er blevet dobbelt talt som før, men nu er der andre elementer, der potentielt er blevet talt to gange. Elementerne i krydset mellem EN og C og i krydset mellem B og C er nu også blevet talt to gange. Så sandsynligheder af disse kryds skal også trækkes fra.

Men har vi trukket for meget? Der er noget nyt at overveje, som vi ikke behøver at være bekymrede for, når der kun var to sæt. Ligesom ethvert to sæt kan have et kryds, kan alle tre sæt også have et kryds. I forsøget på at sikre, at vi ikke dobbelt tæller noget, har vi ikke talt på alle de elementer, der vises i alle tre sæt. Så sandsynligheden for krydset mellem alle tre sæt skal tilføjes igen.

Her er formlen, der er afledt af ovenstående diskussion:

P (EN U B U C) = P(EN) + P(B) + P(C) - P(EN ∩ B) - P(EN ∩ C) - P(B ∩ C) + P(EN ∩ B ∩ C)

For at se formlen for sandsynligheden for forening af tre sæt, formoder vi, at vi spiller et brætspil, der involverer rulle to terninger. På grund af spillereglerne er vi nødt til at få mindst en af ​​døene til at være en to, tre eller fire for at vinde. Hvad er sandsynligheden for dette? Vi bemærker, at vi forsøger at beregne sandsynligheden for forening af tre begivenheder: rullning af mindst en to, rullning af mindst en tre, rulling af mindst en fire. Så vi kan bruge ovenstående formel med følgende sandsynligheder:

• Sandsynligheden for at rulle en to er 11/36. Tælleren her kommer fra det faktum, at der er seks resultater, hvor den første dyse er en to, seks, hvor den anden dyse er en to, og et resultat, hvor begge terninger er to. Dette giver os 6 + 6 - 1 = 11.
• Sandsynligheden for at rulle en tre er 11/36 af samme grund som ovenfor.
• Sandsynligheden for at rulle en fire er 11/36 af samme grund som ovenfor.
• Sandsynligheden for at rulle en to og en tre er 2/36. Her kan vi ganske enkelt angive mulighederne, de to kan komme først eller det kunne komme på andenplads.
• Sandsynligheden for at rulle en to og en fire er 2/36, af samme grund som sandsynligheden for en to og en tre er 2/36.
• Sandsynligheden for at rulle en to, tre og en fire er 0, fordi vi kun ruller to terninger, og der er ingen måde at få tre numre med to terninger.

Vi bruger nu formlen og ser, at sandsynligheden for at få mindst en to, en tre eller en fire er

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Årsagen til, at formlen for sandsynligheden for forening af fire sæt har sin form, svarer til begrundelsen for formlen for tre sæt. Når antallet af sæt øges, stiger antallet af par, tredobbelte osv. Også. Med fire sæt er der seks parvise kryds, der skal trækkes fra, fire tredobbelte kryds for at tilføje igen, og nu et firedoblet kryds, som skal trækkes fra. Givet fire sæt EN, B, C og D, formlen for forening af disse sæt er som følger:

P (EN U B U C U D) = P(EN) + P(B) + P(C) +P(D) - P(EN ∩ B) - P(EN ∩ C) - P(EN ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(EN ∩ B ∩ C) + P(EN ∩ B ∩ D) + P(EN ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(EN ∩ B ∩ C ∩ D).

Vi kunne skrive formler (der ville se endnu skremmere ud end den ovenfor) for sandsynligheden for forening af mere end fire sæt, men fra at studere ovenstående formler skulle vi bemærke nogle mønstre. Disse mønstre holder ved at beregne fagforeninger på mere end fire sæt. Sandsynligheden for forening af et vilkårligt antal sæt kan findes som følger:

1. Tilføj sandsynligheden for de enkelte begivenheder.
2. Træk sandsynligheden for krydsene af hvert par begivenheder.
3. Tilføj sandsynligheden for krydset mellem hvert sæt af tre begivenheder.
4. Trækk sandsynligheden for krydset mellem hvert sæt af fire begivenheder.
5. Fortsæt denne proces, indtil den sidste sandsynlighed er sandsynligheden for krydset mellem det samlede antal sæt, som vi startede med.