Sandsynlighed for tilfældigt at vælge et primnummer

Talteori er en gren af matematik det angår sig helheden. Vi begrænser os lidt ved at gøre dette, da vi ikke direkte studerer andre tal, såsom irrationelle. Imidlertid andre typer reelle tal er brugt. Derudover har genstand for sandsynlighed mange forbindelser og kryds med nummerteori. En af disse forbindelser har at gøre med distributionen af Primtal. Mere specifikt kan vi spørge, hvad er sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt heltal fra 1 til x er et primtal?

Som med ethvert matematikproblem, er det vigtigt ikke kun at forstå, hvilke antagelser der tages, men også definitionerne af alle nøgleudtryk i problemet. For dette problem overvejer vi de positive heltal, hvilket betyder hele tallene 1, 2, 3... op til et vist antal x. Vi vælger tilfældigt et af disse tal, hvilket betyder, at alle x af dem er lige sandsynligvis valgt.

Vi prøver at bestemme sandsynligheden for, at der vælges et primtal. Derfor er vi nødt til at forstå definitionen af ​​et primtal. Et primtal er et positivt heltal, der har nøjagtigt to faktorer. Dette betyder, at de eneste divisorer af primtal er ét og selve tallet. Så 2,3 og 5 er primater, men 4, 8 og 12 er ikke primære. Vi bemærker, at fordi der skal være to faktorer i et primtal, er tallet 1

Løsningen på dette problem er ligetil for lave tal x. Alt hvad vi skal gøre er blot at tælle antallet af primer, der er mindre end eller lig med x. Vi deler antallet af primer mindre end eller lig med x ved nummeret x.

For at finde sandsynligheden for, at en prim er valgt fra 1 til 10, kræves det for eksempel, at vi deler antallet af primater fra 1 til 10 med 10. Talene 2, 3, 5, 7 er prim, så sandsynligheden for, at en prim vælges, er 4/10 = 40%.

Sandsynligheden for, at en prim er valgt fra 1 til 50, kan findes på en lignende måde. De primater, der er mindre end 50, er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 og 47. Der er 15 primes mindre end eller lig med 50. Således er sandsynligheden for, at en prim er valgt tilfældigt, 15/50 = 30%.

Denne proces kan udføres ved blot at tælle primes, så længe vi har en liste med primer. For eksempel er der 25 primes mindre end eller lig med 100. (Således er sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt tal fra 1 til 100 er prim / 25/100 = 25%.) Men hvis vi ikke har en liste af primater, kan det være beregningsmæssigt skræmmende at bestemme sættet med primtal, der er mindre end eller lig med et givet nummer x.

Hvis du ikke har en optælling af antallet af primer, der er mindre end eller lig med x, så er der en alternativ måde at løse dette problem på. Løsningen involverer et matematisk resultat, der kaldes primtals sætningen. Dette er en erklæring om den samlede fordeling af primerne og kan bruges til at tilnærme sandsynligheden for, at vi prøver at bestemme.

Det primære antal sætning siger, at der er ca. x / ln (x) primtal, der er mindre end eller lig med x. Her ln (x) betegner den naturlige logaritme af x, eller med andre ord logaritmen med en base af nummeret e. Som værdien af x øger tilnærmelsen forbedres, i den forstand, at vi ser et fald i den relative fejl mellem antallet af primoer mindre end x og udtrykket x / ln (x).

Vi kan bruge resultatet af primtals sætningen til at løse det problem, vi forsøger at løse. Ved primtals sætningen ved vi, at der er ca. x / ln (x) primtal, der er mindre end eller lig med x. Der er desuden i alt x positive heltal mindre end eller lig med x. Derfor er sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt tal i dette interval er primært (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Vi kan nu bruge dette resultat til at tilnærme dig sandsynligheden for tilfældigt at vælge et primtal ud af det første milliard heltal. Vi beregner den naturlige logaritme på en milliard og ser, at ln (1.000.000.000) er cirka 20.7 og 1 / ln (1.000.000.000) er cirka 0.0483. Vi har således ca. 4,83% sandsynlighed for tilfældigt at vælge et primtal ud af de første milliarder heltal.