Sådan finder du frihedsgrader i statistik

Mange statistiske inferensproblemer kræver, at vi finder antallet af grader af frihed. Antallet af frihedsgrader vælger en enkelt Sandsynlighedsfordeling blandt uendeligt mange. Dette trin er en ofte overset, men afgørende detaljering i både beregningen aftillidsintervaller og arbejdet med hypotese test.

Der er ikke en enkelt generel formel for antallet af frihedsgrader. Der er dog specifikke formler, der bruges til hver type procedure i inferential statistik. Med andre ord vil indstillingen, som vi arbejder i, bestemme antallet af frihedsgrader. Det følgende er en delvis liste over nogle af de mest almindelige inferensprocedurer sammen med antallet af frihedsgrader, der bruges i hver situation.

Procedurer involveret standard normal distribution er angivet for fuldstændighed og for at rydde nogle misforståelser. Disse procedurer kræver ikke, at vi finder antallet af frihedsgrader. Årsagen til dette er, at der er en enkelt standard normalfordeling. Disse typer procedurer omfatter dem, der involverer et populationsmiddel, når befolkningsstandardafvigelsen allerede er kendt, og også procedurer, der vedrører befolkningsforhold.

Undertiden kræver statistisk praksis, at vi bruger Students t-distribution. For disse procedurer, såsom dem, der beskæftiger sig med et populationsmiddel med ukendt befolkningsstandardafvigelse, er antallet af frihedsgrader en mindre end prøvestørrelsen. Så hvis prøvestørrelsen er n, så er der n - 1 frihedsgrader.

Mange gange giver det mening at behandle data som parret. Parringen udføres typisk på grund af en forbindelse mellem den første og anden værdi i vores par. Mange gange parrede vi os før og efter målinger. Vores prøve af sammenkoblede data er ikke uafhængig; dog er forskellen mellem hvert par uafhængig. Så hvis prøven har i alt n par datapunkter (for i alt 2n værdier), så er der n - 1 frihedsgrader.

Til disse typer problemer bruger vi stadig en t-fordeling. Denne gang er der en prøve fra hver af vores populationer. Selvom det foretrækkes at have disse to prøver af samme størrelse, er dette ikke nødvendigt for vores statistiske procedurer. Således kan vi have to prøver på størrelse n₁ og n₂. Der er to måder at bestemme antallet af frihedsgrader. Den mere nøjagtige metode er at bruge Welchs formel, en beregningsmæssigt besværlig formel, der involverer prøvestørrelser og prøvestandardafvigelser. En anden tilgang, kaldet den konservative tilnærmelse, kan bruges til hurtigt at estimere frihedsgrader. Dette er ganske enkelt det mindste af de to tal n₁ - 1 og n₂ - 1.

En brug af chi-square test er at se, om to kategoriske variabler, hver med flere niveauer, udviser uafhængighed. Oplysningerne om disse variabler er logget ind a to-vejs tabel med r rækker og c kolonner. Antallet af frihedsgrader er produktet (r - 1)(c - 1).

Chi-kvadratisk god pasform starter med en enkelt kategorisk variabel med i alt n niveauer. Vi tester hypotesen om, at denne variabel matcher en forudbestemt model. Antallet af frihedsgrader er et mindre end antallet af niveauer. Der er med andre ord n - 1 frihedsgrader.

En faktor variansanalyse (ANOVA) gør det muligt for os at foretage sammenligninger mellem flere grupper og eliminere behovet for flere parvise hypotesetest. Da testen kræver, at vi måler både variationen mellem flere grupper såvel som variationen i hver gruppe, ender vi med to frihedsgrader. Det F-statistik, der bruges til en faktor ANOVA, er en brøkdel. Tælleren og nævneren har hver grader af frihed. Lade c være antallet af grupper og n er det samlede antal dataværdier. Antallet af frihedsgrader for tælleren er en mindre end antallet af grupper, eller c - 1. Antallet af frihedsgrader for nævneren er det samlede antal dataværdier minus antallet af grupper eller n - c.

Det er tydeligt at se, at vi skal være meget omhyggelige med at vide, hvilken inferensprocedure vi arbejder med. Denne viden vil informere os om det rigtige antal grader af frihedsgrad til brug.