Monopol er et brætspil, hvor spillerne får sat kapitalismen i aktion. Spillere køber og sælger ejendomme og opkræver hinanden leje. Selvom der er sociale og strategiske dele af spillet, bevæger spillerne deres brikker rundt på brættet ved at rulle to standard seks-sidede terninger. Da dette styrer, hvordan spillerne bevæger sig, er der også et aspekt af sandsynlighed for spillet. Ved kun at kende nogle få fakta, kan vi beregne, hvor sandsynligt det er at lande på bestemte rum i løbet af de første to vendinger i begyndelsen af spillet.
Terningerne
På hver tur ruller en spiller to terninger og flytter derefter hans eller hendes stykke så mange mellemrum på brættet. Så det er nyttigt at gennemgå sandsynligheder for at rulle to terninger. Sammenfattende er følgende summer mulige:
- En sum af to har sandsynlighed 1/36.
- En sum af tre har sandsynlighed 2/36.
- En sum af fire har sandsynlighed 3/36.
- En sum på fem har sandsynlighed 4/36.
- Et beløb på seks har sandsynlighed 5/36.
- Et beløb på syv har sandsynlighed 6/36.
- En sum af otte har sandsynlighed 5/36.
- Et beløb på ni har sandsynlighed 4/36.
- Et beløb på ti har sandsynlighed 3/36.
- En sum af elleve har sandsynlighed 2/36.
- En sum på tolv har sandsynlighed 1/36.
Disse sandsynligheder vil være meget vigtige, når vi fortsætter.
Monopolspilbordet
Vi er også nødt til at være opmærksomme på Monopol-spillebordet. Der er i alt 40 pladser rundt om spillebrættet, med 28 af disse egenskaber, jernbaner eller værktøjer, der kan købes. Seks rum involverer at tegne et kort fra Chance- eller Community Chest-bunkerne. Tre rum er frie rum, hvor intet sker. To rum, der involverer betaling af skat: enten indkomstskat eller luksusafgift. En plads sender spilleren til fængsel.
Vi vil kun overveje de to første vendinger i et monopolspil. I løbet af disse vendinger er det længst vi kunne komme rundt på brættet at rulle tolv to gange og flytte i alt 24 pladser. Så vi vil kun undersøge de første 24 mellemrum på brættet. For at disse rum er:
- Middelhavs Avenue
- Community Chest
- Baltic Avenue
- Indkomstskat
- Læsejernbane
- Oriental Avenue
- Chance
- Vermont Avenue
- Connecticut-skat
- Bare besøger fængsel
- St. James Place
- Electric Company
- States Avenue
- Virginia Avenue
- Pennsylvania Railroad
- St. James Place
- Community Chest
- Tennessee Avenue
- New York Avenue
- Gratis parkering
- Kentucky Avenue
- Chance
- Indiana Avenue
- Illinois Avenue
Første drejning
Den første sving er relativt ligetil. Da vi har sandsynligheder for at rulle to terninger, matcher vi dem simpelthen med de passende firkanter. For eksempel er det andet rum en Community Chest square, og der er 1/36 sandsynlighed for at rulle en sum af to. Således er der 1/36 sandsynlighed for at lande på Community Chest på første sving.
Nedenfor er sandsynligheden for at lande på følgende mellemrum på første sving:
- Community Chest - 1/36
- Baltic Avenue - 2/36
- Indkomstskat - 3/36
- Læsjernbane - 4/36
- Oriental Avenue - 5/36
- Chance - 6/36
- Vermont Avenue - 5/36
- Connecticut-skat - 4/36
- Bare besøgende fængsel - 3/36
- St. James Place - 2/36
- Elektrisk firma - 1/36
Anden sving
Det er noget vanskeligere at beregne sandsynlighederne for den anden tur. Vi kan rulle i alt to på begge sving og gå mindst fire mellemrum, eller i alt 12 på begge sving og gå maksimalt 24 pladser. Alle rum mellem fire og 24 kan også nås. Men disse kan gøres på forskellige måder. For eksempel kunne vi flytte i alt syv mellemrum ved at flytte en af følgende kombinationer:
- To mellemrum på den første sving og fem mellemrum på den anden sving
- Tre mellemrum på den første sving og fire mellemrum på den anden sving
- Fire mellemrum på den første sving og tre mellemrum på den anden sving
- Fem mellemrum på den første sving og to mellemrum på den anden tur
Vi skal overveje alle disse muligheder, når vi beregner sandsynligheder. Hver sving kaster er uafhængige af næste sving kaster. Så vi behøver ikke at bekymre os om betinget sandsynlighed, men skal bare multiplicere hver af sandsynlighederne:
- Sandsynligheden for at rulle en to og derefter en fem er (1/36) x (4/36) = 4/1296.
- Sandsynligheden for at rulle en tre og derefter en fire er (2/36) x (3/36) = 6/1296.
- Sandsynligheden for at rulle en fire og derefter en tre er (3/36) x (2/36) = 6/1296.
- Sandsynligheden for at rulle en fem og derefter en to er (4/36) x (1/36) = 4/1296.
Gensidigt eksklusiv tilføjelsesregel
Andre sandsynligheder for to vendinger beregnes på samme måde. For hvert tilfælde er vi bare nødt til at finde ud af alle de mulige måder at få en samlet sum svarende til den firkant på spilbrættet. Nedenfor er sandsynlighederne (afrundet til den nærmeste hundrededel af en procent) for landing på følgende mellemrum på den første sving:
- Indkomstskat - 0,08%
- Læsejernbane - 0,31%
- Oriental Avenue - 0,77%
- Chance - 1,54%
- Vermont Avenue - 2,70%
- Connecticut-skat - 4,32%
- Bare besøgende fængsel - 6,17%
- St. James Place - 8,02%
- Elektrisk selskab - 9,65%
- States Avenue - 10,80%
- Virginia Avenue - 11,27%
- Pennsylvania Railroad - 10,80%
- St. James Place - 9,65%
- Community Chest - 8,02%
- Tennessee Avenue 6,17%
- New York Avenue 4,32%
- Gratis parkering - 2,70%
- Kentucky Avenue - 1,54%
- Chance - 0,77%
- Indiana Avenue - 0,31%
- Illinois Avenue - 0,08%
Mere end tre drejninger
I flere vendinger bliver situationen endnu vanskeligere. En af grundene er, at i spillereglerne, hvis vi ruller dobbelt tre gange i træk, går vi i fængsel. Denne regel vil påvirke vores sandsynligheder på måder, som vi ikke behøvede at overveje tidligere. Ud over denne regel er der virkninger fra chancekort og fælles brystkort, som vi ikke overvejer. Nogle af disse kort instruerer spillerne til at springe over mellemrum og gå direkte til bestemte rum.
På grund af den øgede beregningsmæssige kompleksitet bliver det lettere at beregne sandsynligheder i mere end blot et par vendinger ved hjælp af Monte Carlo-metoder. Computere kan simulere hundreder af tusinder, hvis ikke millioner af monopolspil, og sandsynligheden for at lande på hvert rum kan beregnes empirisk ud fra disse spil.