En brug af en chi-square distribution er med hypotesetest for multinomiale eksperimenter. For at se, hvordan det er hypotese test fungerer, vi undersøger følgende to eksempler. Begge eksempler fungerer gennem det samme sæt trin:
- Form nul og alternative hypoteser
- Beregn teststatistikken
- Find den kritiske værdi
- Tag en beslutning om, hvorvidt vi skal afvise eller undlade at afvise vores nulhypotese.
Eksempel 1: En fair mønt
Til vores første eksempel ønsker vi at se på en mønt. En retfærdig mønt har en lige sandsynlighed for 1/2 af opadgående hoveder eller haler. Vi kaster en mønt 1000 gange og registrerer resultaterne af i alt 580 hoveder og 420 haler. Vi vil teste hypotesen med et 95% -niveau af tillid til, at den mønt, vi vippede, er fair. Mere formelt er nulhypotesenH0 er, at mønten er fair. Da vi sammenligner observerede frekvenser af resultater fra en møntkast med de forventede frekvenser fra en idealiseret fair mønt, bør en chi-kvadrat-test bruges.
Beregn Chi-Square-statistikken
Vi begynder med at beregne chi-square-statistikken for dette scenarie. Der er to begivenheder, hoveder og haler. Hoveder har en observeret frekvens på
f1 = 580 med forventet frekvens på e1 = 50% x 1000 = 500. Haler har en observeret frekvens på f2 = 420 med en forventet frekvens på e1 = 500.Vi bruger nu formlen til chi-square statistikken og ser den χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Find den kritiske værdi
Derefter skal vi finde den kritiske værdi for den rigtige chi-square distribution. Da der er to resultater for mønten, er der to kategorier at overveje. Antallet af grader af frihed er en mindre end antallet af kategorier: 2 - 1 = 1. Vi bruger chi-square distributionen for dette antal frihedsgrader og ser det χ20.95=3.841.
Afvis eller undlad at afvise?
Endelig sammenligner vi den beregnede chi-square statistik med den kritiske værdi fra tabellen. Siden 25.6> 3.841 afviser vi nullhypotesen om, at dette er en fair mønt.
Eksempel 2: A Fair Die
En retfærdig dyse har en lige sandsynlighed for 1/6 for at rulle en, to, tre, fire, fem eller seks. Vi ruller en dyse 600 gange og bemærker, at vi ruller en 106 gange, en to 90 gange, en tre 98 gange, en fire 102 gange, en fem 100 gange og en seks 104 gange. Vi ønsker at teste hypotesen med en 95% grad af tillid til, at vi har en fair die.
Beregn Chi-Square-statistikken
Der er seks begivenheder, hver med en forventet frekvens på 1/6 x 600 = 100. De observerede frekvenser er f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Vi bruger nu formlen til chi-square statistikken og ser den χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Find den kritiske værdi
Derefter skal vi finde den kritiske værdi for den rigtige chi-square distribution. Da der er seks kategorier af resultater for dø, er antallet af frihedsgrader en mindre end dette: 6 - 1 = 5. Vi bruger chi-square fordelingen til fem frihedsgrader og ser det χ20.95=11.071.
Afvis eller undlad at afvise?
Endelig sammenligner vi den beregnede chi-square statistik med den kritiske værdi fra tabellen. Da den beregnede chi-kvadratstatistik er 1,6 er mindre end vores kritiske værdi på 11,071, vi undlader at afvise nulhypotesen.