Brug af betydelige tal og videnskabelig notation

Når du foretager en måling, a videnskabsmand kan kun nå et bestemt niveau af præcision, begrænset enten af ​​de værktøjer, der bruges eller situationens fysiske karakter. Det mest indlysende eksempel er måling af afstand.

Overvej, hvad der sker, når man måler afstanden, som et objekt flyttes ved hjælp af et målebånd (i metriske enheder). Målebåndet er sandsynligvis opdelt i de mindste enheder på millimeter. Derfor er der ingen måde, du kan måle med en præcision, der er større end en millimeter. Hvis objektet bevæger sig 57.215493 millimeter, kan vi derfor kun med sikkerhed fortælle, at det bevægede sig 57 millimeter (eller 5,7 centimeter eller 0,057 meter, afhængigt af præferensen i denne situation).

Generelt er dette afrundingsniveau fint. At få den nøjagtige bevægelse af et objekt i normal størrelse ned til en millimeter faktisk ville være en ret imponerende præstation. Forestil dig at prøve at måle en bils bevægelse til millimeteren, og du vil se, at det generelt ikke er nødvendigt. I de tilfælde, hvor en sådan præcision er nødvendig, bruger du værktøjer, der er meget mere sofistikerede end et målebånd.

Antallet af meningsfulde tal i en måling kaldes antallet af signifikante tal af antallet. I det tidligere eksempel ville svaret på 57 millimeter give os 2 markante tal i vores måling.

Overvej antallet 5.200.

Medmindre andet er sagt, er det generelt den almindelige praksis at antage, at kun de to cifre, der ikke er nul, er signifikante. Med andre ord antages det, at dette antal var afrundet til det nærmeste hundrede.

Hvis tallet imidlertid skrives som 5.200,0, ville det have fem betydelige tal. Decimalpunktet og efter nul tilføjes kun, hvis måling er præcis på dette niveau.

Tilsvarende ville tallet 2.30 have tre betydelige tal, fordi nulet i slutningen er en indikation af, at den videnskabsmand, der udførte målingen, gjorde det på dette præcisionsniveau.

Nogle lærebøger har også introduceret konventionen om, at et decimalpoint i slutningen af ​​et helt tal også angiver betydelige tal. Så 800. ville have tre betydelige tal, mens 800 kun har et markant tal. Igen er dette noget variabelt afhængigt af lærebogen.

Følgende er nogle eksempler på forskellige antal markante tal for at hjælpe med at styrke konceptet:

En betydelig figur
4
900
0.00002
To markante tal
3.7
0.0059
68,000
5.0
Tre markante tal
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (i nogle lærebøger)

Videnskabelige tal giver nogle forskellige regler for matematik end hvad du introduceres til i din matematikklasse. Nøglen til at bruge væsentlige tal er at være sikker på, at du opretholder det samme nøjagtighedsniveau under hele beregningen. I matematik holder du alle numrene fra dit resultat, mens du i videnskabeligt arbejde ofte rundes baseret på de betydelige tal, der er involveret.

Når man tilføjer eller trækker fra videnskabelige data, er det kun det sidste ciffer (det ciffer længst til højre), der betyder noget. Lad os for eksempel antage, at vi tilføjer tre forskellige afstande:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Den første periode i tilføjelsesproblemet har fire betydelige tal, den anden har otte og den tredje har kun to. Præcisionen bestemmes i dette tilfælde af det korteste decimal. Så du vil udføre din beregning, men i stedet for 15.2699834 vil resultatet være 15,3, fordi du vil runde til tiendepladsen (det første sted efter decimalpunktet), for mens to af dine målinger er mere præcise, den tredje kan ikke fortælle dig noget mere end tiendepladsen, så resultatet af dette tilføjelsesproblem kan kun være så præcist.

Bemærk, at dit endelige svar i dette tilfælde har tre betydelige tal, mens ingen af dine startnumre gjorde det. Dette kan være meget forvirrende for begyndere, og det er vigtigt at være opmærksom på denne egenskab ved tilføjelse og subtraktion.

Når man videnskaber eller deler videnskabelige data, derimod, betyder antallet af væsentlige tal noget. Multiplikation af markante tal vil altid resultere i en løsning, der har de samme signifikante tal som de mindste signifikante tal, du startede med. Så videre til eksemplet:

5,638 x 3,1

Den første faktor har fire betydelige tal, og den anden faktor har to markante tal. Din løsning vil derfor ende med to betydelige tal. I dette tilfælde vil det være 17 i stedet for 17.4778. Du udfører beregningen derefter afrund din løsning til det rigtige antal væsentlige tal. Den ekstra præcision i multiplikationen skader ikke, du vil bare ikke give et falskt præcisionsniveau i din endelige løsning.

Fysik beskæftiger sig med rumområder fra størrelsen mindre end en proton til universets størrelse. Som sådan ender du med nogle meget store og meget små tal. Generelt er det kun de første par af disse tal, der er markante. Ingen vil (eller kunne) måle universets bredde til den nærmeste millimeter.

Bemærk

For at kunne manipulere disse numre bruger forskere videnskabelig notation. De markante tal er opført, ganget med ti til den nødvendige kraft. Lysets hastighed er skrevet som: [blackquote nuance = no] 2.997925 x 108 m / s

Der er 7 markante tal, og det er meget bedre end at skrive 299.792.500 m / s.

Bemærk

Denne notation er meget praktisk til multiplikation. Du følger de regler, der er beskrevet tidligere for at multiplicere de betydelige tal og holde det mindste antal markante tal, og derefter multiplicerer du størrelsesordenerne, der følger additivreglen for eksponenter. Følgende eksempel skal hjælpe dig med at visualisere det:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Produktet har kun to signifikante tal, og størrelsesordenen er 107, fordi 103 x 104 = 107

Tilføjelse af videnskabelig notation kan være meget let eller meget vanskeligt, afhængigt af situationen. Hvis udtrykkene har samme størrelsesorden (dvs. 4.3005 x 105 og 13.5 x 105), følger du de regler, der diskuteres tidligere, idet du holder den højeste pladsværdi som din afrundingsplacering og holder størrelsesordenen den samme som i det følgende eksempel:

4,3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Hvis størrelsesordenen er forskellig, skal du imidlertid arbejde lidt for at få størrelserne ens, som i det følgende eksempel, hvor det ene udtryk er på størrelsesordenen 105 og det andet udtryk på størrelsesordenen 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
eller
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Begge disse løsninger er de samme, hvilket resulterer i 9.700.000 som svaret.

Tilsvarende skrives også meget små tal ofte i videnskabelig notation, dog med en negativ eksponent i størrelsesorden i stedet for den positive eksponent. Elektronets masse er:

9,10939 x 10-31 kg

Dette ville være et nul, efterfulgt af et decimal, efterfulgt af 30 nuller, derefter serien med 6 markante tal. Ingen vil skrive det ud, så videnskabelig notation er vores ven. Alle ovenstående regler er de samme, uanset om eksponenten er positiv eller negativ.

Væsentlige tal er et grundlæggende middel, som forskere bruger til at give et mål for præcision til de tal, de bruger. Den involverede afrundingsproces introducerer stadig et mål for fejl i tallene, og i meget højt niveau beregninger er der andre statistiske metoder, der bliver brugt. For stort set al den fysik, der vil blive udført i gymnasiet og på college-niveauer, korrekt anvendelse af markante tal vil dog være tilstrækkelig til at opretholde det krævede niveau på præcision.

Væsentlige tal kan være en betydelig anstrengelse, når de først introduceres for studerende, fordi det ændrer nogle af de grundlæggende matematiske regler, som de har lært i årevis. Med betydelige tal, for eksempel 4 x 12 = 50.

Tilsvarende kan introduktion af videnskabelig notation til studerende, der muligvis ikke er fuldt ud tilpas med eksponenter eller eksponentielle regler, også skabe problemer. Husk, at dette er værktøjer, som alle, der studerer videnskab, på et tidspunkt skulle lære, og at reglerne faktisk er meget grundlæggende. Problemet husker næsten udelukkende hvilken regel der anvendes på hvilket tidspunkt. Hvornår tilføjer jeg eksponenter, og hvornår trækker jeg dem? Hvornår flytter jeg decimalpunktet til venstre og hvornår til højre? Hvis du fortsat praktiserer disse opgaver, bliver du bedre til dem, indtil de bliver anden natur.

Endelig kan vedligeholdelse af korrekte enheder være vanskeligt. Husk, at du ikke direkte kan tilføje centimeter og meterfor eksempel, men skal først konvertere dem til samme skala. Dette er en almindelig fejl for begyndere, men som resten er det noget, der meget let kan overvindes ved at bremse, være forsigtig og tænke over, hvad du laver.