Hvis du bad nogen om at navngive hans eller hendes foretrukne matematiske konstant, ville du sandsynligvis få nogle quiziske udseende. Efter et stykke tid frivilligt nogen, at bedste konstant er pi. Men dette er ikke den eneste vigtige matematiske konstant. Et tæt sekund, hvis ikke kæmper for kronen for den mest allestedsnærværende konstant er e. Dette nummer vises i beregning, taleteori, sandsynlighed og Statistikker. Vi vil undersøge nogle af funktionerne i dette bemærkelsesværdige antal og se, hvilke forbindelser det har med statistik og sandsynlighed.
Værdi af e
Som pi, e er en irrationel reelt antal. Dette betyder, at det ikke kan skrives som en brøk, og at dens decimaludvidelse fortsætter for evigt uden nogen gentagende blok af tal, der kontinuerligt gentages. Nummeret e er også transcendental, hvilket betyder, at det ikke er roden til et ikke-sterkt polynom med rationelle koefficienter. De første 50 decimaler angives af e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definition af e
Nummeret e blev opdaget af folk, der var nysgerrige efter sammensat interesse. I denne form for interesse tjener hovedstolen renter, og derefter tjener den genererede interesse renter på sig selv. Det blev observeret, at jo større hyppigheden af sammensatte perioder pr. År er, jo højere er den genererede interesse. For eksempel kunne vi se på, at renterne er sammensat:
- Årligt eller en gang om året
- Halvårligt eller to gange om året
- Månedligt eller 12 gange om året
- Dagligt eller 365 gange om året
Det samlede rente stiger for hvert af disse tilfælde.
Der opstod et spørgsmål om, hvor mange penge der muligvis kunne optjenes i renter. For at forsøge at tjene endnu flere penge kunne vi i teorien øge antallet af sammensatte perioder til et så højt antal, som vi ønskede. Slutresultatet af denne stigning er, at vi vil overveje, at renterne forøges kontinuerligt.
Mens den genererede interesse øges, gør den det meget langsomt. Det samlede beløb på kontoen stabiliseres faktisk, og den værdi, dette stabiliseres til, er e. For at udtrykke dette ved hjælp af en matematisk formel siger vi, at grænsen som n stigninger på (1 + 1 /n)n = e.
Anvendelser af e
Nummeret e dukker op i hele matematik. Her er et par af de steder, hvor det ser ud:
- Det er basen i den naturlige logaritme. Siden Napier opfandt logaritmer, e kaldes undertiden Napiers konstante.
- I beregningen eksponentiel funktion ex har den unikke egenskab ved at være sit eget derivat.
- Udtryk involverende ex og e-x kombineres for at danne den hyperboliske sinus og den hyperboliske kosinusfunktion.
- Takket være Eulers arbejde ved vi, at de grundlæggende konstanter i matematikken hænger sammen med formlen eiΠ + 1 = 0, hvor jeg er det imaginære tal, der er kvadratroten af det negative.
- Nummeret e viser sig i forskellige formler gennem matematik, især antalletsteorien.
Værdien e i statistikker
Antallet af vigtighed e er ikke begrænset til kun et par områder i matematik. Der er også flere anvendelser af nummeret e i statistikker og sandsynlighed. Et par af disse er som følger:
- Nummeret e gør en optræden i formel til gammafunktionen.
- Formlerne for standard normal distribution involverer e til en negativ magt. Denne formel inkluderer også pi.
- Mange andre distributioner involverer brugen af nummeret e. For eksempel indeholder formlerne til t-distribution, gamma distribution og chi-square distribution alle nummeret e.