Løsninger til udfordrende tælleproblemer

Tælling kan virke som en nem opgave at udføre. Når vi går dybere ind i området matematik kendt som kombinatorik, vi er klar over, at vi støder på nogle store tal. Siden faktoriel vises så ofte, og et tal som 10! er større end tre million, kan tælleproblemer blive kompliceret meget hurtigt, hvis vi forsøger at liste alle mulighederne.

Undertiden når vi overvejer alle de muligheder, som vores tælleproblemer kan tage, er det lettere at tænke gennem de underliggende principper for problemet. Denne strategi kan tage meget mindre tid end at prøve brute force til at liste ud et antal kombinationer eller permutationer.

Spørgsmålet "Hvor mange måder kan der gøres noget?" er et andet spørgsmål helt fra "Hvad er måderne at der kan gøres noget? ”Vi vil se denne idé på arbejdspladsen i det følgende sæt udfordrende tælling problemer.

Følgende sæt spørgsmål involverer ordet TRIANGLE. Bemærk, at der i alt er otte bogstaver. Lad det forstås, at vokaler af ordet TRIANGLE er AEI, og konsonanterne for ordet TRIANGLE er LGNRT. For en reel udfordring, inden du læser yderligere, tjek en version af disse problemer uden løsninger.

1. Hvor mange måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres?
   Løsning: Her er der i alt otte valg for det første bogstav, syv for det andet, seks for det tredje osv. Ved multiplikationsprincippet multipliceres vi med i alt 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 forskellige måder.
2. Hvor mange måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres, hvis de tre første bogstaver skal være RAN (i den nøjagtige rækkefølge)?
   Løsning: De første tre bogstaver er valgt til os, hvilket efterlader os fem bogstaver. Efter RAN har vi fem valgmuligheder for det næste brev efterfulgt af fire, derefter tre, derefter to og et. Efter multiplikationsprincippet er der 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 måder at arrangere bogstaverne på en specificeret måde.
3. Hvor mange måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres, hvis de tre første bogstaver skal være RAN (i en hvilken som helst rækkefølge)?
   Løsning: Se på dette som to uafhængige opgaver: den første arrangerer bogstaverne RAN, og den anden arrangerer de andre fem bogstaver. Der er 3! = 6 måder at arrangere RAN og 5! Måder at arrangere de andre fem bogstaver. Så der er i alt 3! x 5! = 720 måder at arrangere bogstaverne i TRIANGLE som specificeret.
4. Hvor mange måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres, hvis de tre første bogstaver skal være RAN (i en hvilken som helst rækkefølge), og det sidste bogstav skal være en vokal?
   Løsning: Se på dette som tre opgaver: den første arrangerer bogstaverne RAN, den anden vælger en vokal ud af I og E, og den tredje arrangerer de andre fire bogstaver. Der er 3! = 6 måder at arrangere RAN, 2 måder at vælge en vokal på fra de resterende bogstaver og 4! Måder at arrangere de andre fire bogstaver. Så der er i alt 3! X 2 x 4! = 288 måder at arrangere bogstaverne i TRIANGLE som specificeret.
5. Hvor mange måder kan ordene TRIANGLE ordnes, hvis de første tre bogstaver skal være RAN (i en hvilken som helst rækkefølge) og de næste tre bogstaver skal være TRI (i en hvilken som helst rækkefølge)?
   Løsning: Igen har vi tre opgaver: den første arrangerer bogstaverne RAN, den anden arrangerer bogstaverne TRI, og den tredje arrangerer de to andre bogstaver. Der er 3! = 6 måder at arrangere RAN, 3! måder at arrangere TRI og to måder at arrangere de andre breve på. Så der er i alt 3! x 3! X 2 = 72 måder at arrangere bogstaverne i TRIANGLE som angivet.
6. Hvor mange forskellige måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres, hvis rækkefølgen og placeringen af ​​vokalerne IAE ikke kan ændres?
   Løsning: De tre vokaler skal holdes i samme rækkefølge. Nu er der i alt fem konsonanter at arrangere. Dette kan gøres i 5! = 120 måder.
7. Hvor mange forskellige måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres, hvis rækkefølgen af ​​vokalerne IAE ikke kan ændres, selv om deres placering kan (IAETRNGL og TRIANGEL er acceptabel, men EIATRNGL og TRIENGLA er ikke)?
   Løsning: Dette tænkes bedst i to trin. Trin et er at vælge de steder, vokalerne går. Her vælger vi tre steder ud af otte, og rækkefølgen af ​​at vi gør dette er ikke vigtig. Dette er en kombination, og der er i alt C(8,3) = 56 måder at udføre dette trin på. De resterende fem bogstaver kan arrangeres i 5! = 120 måder. Dette giver i alt 56 x 120 = 6720 arrangementer.
8. Hvor mange forskellige måder kan bogstaverne i ordet TRIANGLE arrangeres, hvis rækkefølgen af ​​vokalerne IAE kan ændres, selvom deres placering muligvis ikke er?
   Løsning: Dette er virkelig den samme ting som nr. 4 ovenfor, men med forskellige bogstaver. Vi arrangerer tre bogstaver i 3! = 6 måder og de andre fem bogstaver i 5! = 120 måder. Det samlede antal måder for dette arrangement er 6 x 120 = 720.
9. Hvor mange forskellige måder kan der arrangeres seks bogstaver i ordet TRIANGLE?
   Løsning: Da vi taler om en ordning, er dette en permutation, og der er i alt P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 måder.
10. Hvor mange forskellige måder kan der arrangeres seks bogstaver i ordet TRIANGLE, hvis der skal være et lige så stort antal vokaler og konsonanter?
    Løsning: Der er kun én måde at vælge vokalerne, vi skal placere. Valg af konsonanter kan gøres i C(5, 3) = 10 måder. Der er derefter 6! måder at arrangere de seks bogstaver på. Multipliser disse numre sammen for resultatet af 7200.
11. Hvor mange forskellige måder kan der arrangeres seks bogstaver i ordet TRIANGLE, hvis der skal være mindst en konsonant?
    Løsning: Hvert arrangement på seks breve opfylder betingelserne, så der er P(8, 6) = 20.160 måder.
12. Hvor mange forskellige måder kan der arrangeres seks bogstaver i ordet TRIANGLE, hvis vokalerne skal skifte med konsonanter?
    Løsning: Der er to muligheder, det første bogstav er en vokal, eller det første bogstav er en konsonant. Hvis det første bogstav er en vokal, har vi tre valg, efterfulgt af fem for en konsonant, to for en anden vokal, fire for en anden konsonant, en for den sidste vokal og tre for den sidste konsonant. Vi multiplicerer dette for at opnå 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Ved symmetri-argumenter er der det samme antal arrangementer, der starter med en konsonant. Dette giver i alt 720 arrangementer.
13. Hvor mange forskellige sæt på fire bogstaver kan dannes ud fra ordet TRIANGLE?
    Løsning: Da vi taler om en sæt af fire bogstaver fra i alt otte, er rækkefølgen ikke vigtig. Vi er nødt til at beregne kombinationen C(8, 4) = 70.
14. Hvor mange forskellige sæt på fire bogstaver kan dannes ud fra ordet TRIANGLE, der har to vokaler og to konsonanter?
    Løsning: Her danner vi vores sæt i to trin. Der er C(3, 2) = 3 måder at vælge to vokaler på i alt 3. Der er C(5, 2) = 10 måder at vælge konsonanter blandt de fem tilgængelige. Dette giver i alt 3x10 = 30 sæt mulige.
15. Hvor mange forskellige sæt på fire bogstaver kan dannes ud fra ordet TRIANGLE, hvis vi ønsker mindst en vokal?
    Løsning: Dette kan beregnes som følger:

• Antallet af sæt på fire med en vokal er C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Antallet af sæt på fire med to vokaler er C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Antallet af sæt på fire med tre vokaler er C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Dette giver i alt 65 forskellige sæt. Alternativt kunne vi beregne, at der er 70 måder at danne et sæt på alle fire bogstaver og trække C(5, 4) = 5 måder at få et sæt uden vokaler på.