Hvad er den forventede værdi i sandsynlighed?

Du er på et karneval, og du ser et spil. For $ 2 ruller du en standard seks-sidet matrice. Hvis det viste nummer er en seks vinder du $ 10, ellers vinder du intet. Hvis du prøver at tjene penge, er det i din interesse at spille spillet? For at besvare et spørgsmål som dette har vi brug for begrebet forventet værdi.

Den forventede værdi kan virkelig betragtes som gennemsnittet af en tilfældig variabel. Dette betyder, at hvis du kørte et sandsynlighedseksperiment igen og igen og holder styr på resultaterne, er den forventede værdi den gennemsnit af alle opnåede værdier. Den forventede værdi er, hvad du skal forudse, at der skal ske i det lange løb af mange forsøg med et hasardspil.

Det ovenfor nævnte karnevalsspil er et eksempel på en diskret tilfældig variabel. Variablen er ikke kontinuerlig, og hvert resultat kommer til os i et tal, der kan adskilles fra de andre. At finde den forventede værdi af et spil, der har resultater x₁, x₂,..., x_n med sandsynligheder p₁, p₂,... , p_n, Beregn:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

For spillet ovenfor har du en 5/6 sandsynlighed for ikke at vinde noget. Værdien af ​​dette resultat er -2, da du har brugt $ 2 for at spille spillet. En seks har 1/6 sandsynlighed for at dukke op, og denne værdi har et resultat på 8. Hvorfor 8 og ikke 10? Igen skal vi redegøre for de $ 2, vi betalte for at spille, og 10 - 2 = 8.

Tilslut nu disse værdier og sandsynligheder til det forventede værdi formel og ender med: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Dette betyder, at du på lang sigt skal forvente at tabe i gennemsnit ca. 33 cent, hver gang du spiller dette spil. Ja, du vinder nogle gange. Men du mister oftere.

Antag nu, at karnevalsspilet er blevet ændret lidt. For det samme indgangsgebyr på $ 2, hvis antallet viser er en seks, vinder du $ 12, ellers vinder du intet. Den forventede værdi af dette spil er -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. I det lange løb mister du ikke penge, men vinder ikke nogen. Forvent ikke at se et spil med disse numre på dit lokale karneval. Hvis du i det lange løb ikke mister nogen penge, vil karnevalet ikke tjene nogen.

Drej nu til kasinoet. På samme måde som før kan vi beregne den forventede værdi af hasardspil såsom roulette. I USA har et roulettehjul 38 nummererede slots fra 1 til 36, 0 og 00. Halvdelen af ​​1-36 er rød, halvdelen er sort. Både 0 og 00 er grønne. En bold lander tilfældigt i en af ​​slots, og der placeres indsatser på, hvor bolden vil lande.

Et af de enkleste spil er at satse på rødt. Her hvis du satser $ 1 og bolden lander på et rødt tal i hjulet, vinder du $ 2. Hvis bolden lander på et sort eller grønt rum i hjulet, vinder du intet. Hvad er den forventede værdi på et væddemål som dette? Da der er 18 røde pladser, er der en sandsynlighed for at vinde 18/38 med en nettogevinst på $ 1. Der er en sandsynlighed på 20/38 for at miste din indledende indsats på $ 1. Den forventede værdi af denne indsats i roulette er 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, hvilket er ca. 5,3 cent. Her har huset en svag kant (som med alle casinospil).

Som et andet eksempel skal du overveje a lotteri. Selvom millioner kan vindes for prisen på en $ 1 billet, viser den forventede værdi af et lotterispil, hvor urimeligt det er konstrueret. Antag, at for $ 1 vælger du seks numre fra 1 til 48. Sandsynligheden for at vælge alle seks numre korrekt er 1 / 12.271.512. Hvis du vinder 1 million dollars for at få alle seks korrekte, hvad er den forventede værdi af dette lotteri? De mulige værdier er - $ 1 for at miste og $ 999.999 for at vinde (igen skal vi redegøre for omkostningerne til at spille og trække dette fra gevinsterne). Dette giver os en forventet værdi af:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Så hvis du skulle spille lotteriet igen og igen, i det lange løb, mister du omkring 92 cent - næsten al din billetpris - hver gang du spiller.

Alle ovenstående eksempler ser på et diskret tilfældig variabel. Det er imidlertid muligt også at definere den forventede værdi for en kontinuerlig tilfældig variabel. Alt hvad vi skal gøre i dette tilfælde er at erstatte sammenlægningen i vores formel med en integral.

Det er vigtigt at huske, at den forventede værdi er gennemsnittet efter mange forsøg med a tilfældig proces. På kort sigt kan gennemsnittet af en tilfældig variabel variere markant fra den forventede værdi.