Beregninger med gamma-funktionen

Det gammafunktion er defineret af følgende komplicerede udseende formel:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Et spørgsmål, som folk har, når de først støder på denne forvirrende ligning, er: ”Hvordan bruger du denne formel til at beregne værdier af gammafunktion? ” Dette er et vigtigt spørgsmål, da det er vanskeligt at vide, hvad denne funktion endda betyder, og hvad alle symbolerne står for til.

En måde at besvare dette spørgsmål er ved at se på flere prøveberegninger med gammafunktionen. Før vi gør dette, er der et par ting fra beregningen, som vi skal vide, for eksempel hvordan man integrerer en forkert type I, og at e er en matematisk konstant.

Før vi foretager nogen beregninger, undersøger vi motivationen bag disse beregninger. Mange gange vises gamma-funktionerne bag kulisserne. Flere sandsynlighedsdensitetsfunktioner er angivet med hensyn til gammafunktionen. Eksempler på disse inkluderer gamma-distribution og studerendes t-distribution. Vigtigheden af ​​gamma-funktionen kan ikke overdrives.

Det første eksempel beregning, som vi vil undersøge, er at finde værdien af ​​gammafunktionen for Γ (1). Dette findes ved indstilling z = 1 i ovenstående formel:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Vi beregner ovenstående integral i to trin:

• Det ubegrænsede integral ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Dette er en forkert integral, så vi har ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Den næste eksempelberegning, som vi vil overveje, ligner det sidste eksempel, men vi øger værdien af z med 1. Vi beregner nu værdien af ​​gammafunktionen for Γ (2) ved at indstille z = 2 i ovenstående formel. Trinene er de samme som ovenfor:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Det ubegrænsede integral ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Selvom vi kun har øget værdien af z med 1 tager det mere arbejde at beregne dette integral. For at finde dette integral skal vi bruge en teknik fra regnestykket kendt som integration efter dele. Vi bruger nu grænserne for integration ligesom ovenfor og skal beregne:

lim_{b → ∞}- være ^{- b} -e ^{- b} -0E ⁰ + e ⁰.

Et resultat fra beregningen kendt som L’Hospitals regel giver os mulighed for at beregne grænseværdien_{b → ∞}- være ^{- b} = 0. Dette betyder, at værdien af ​​vores integral ovenfor er 1.

En anden funktion ved gamma-funktionen og en, der forbinder den til faktoriel er formlen Γ (z +1 ) =zΓ (z ) til z ethvert komplekst tal med et positivt ægte en del. Årsagen til, at dette er sandt, er et direkte resultat af formlen til gammafunktionen. Ved at bruge integration af dele kan vi etablere denne egenskab for gammafunktionen.