Almindelige eksempler på sæt, der ikke kan tælles med

Ikke alle uendelige sæt er de samme. En måde at skelne mellem disse sæt er ved at spørge, om sættet er tælleligt uendelig eller ikke. På denne måde siger vi, at uendelige sæt enten er tællelige eller utallige. Vi vil overveje flere eksempler på uendelige sæt og bestemme, hvilke af disse der er utallige.

Vi begynder med at udelukke flere eksempler på uendelige sæt. Mange af de uendelige sæt, som vi straks ville tænke på, viser sig at være antallet af uendelige. Dette betyder, at de kan sættes i en en-til-en-korrespondance med de naturlige tal.

De naturlige tal, heltal og rationelle tal er alle utallige uendelige. Enhver sammenhæng eller kryds mellem antallet af uendelige sæt er også tællelige. Det kartesiske produkt af ethvert antal tællbare sæt tælles. Enhver delmængde af et tællbart sæt er også tællbar.

Den mest almindelige måde, hvor utallige sæt introduceres, er ved at overveje intervallet (0, 1) af reelle tal. Fra denne kendsgerning og en-til-en-funktionen

Hele sættet med reelle tal er også utallige. En måde at vise dette på er at bruge tangentfunktionen en til en f ( x ) = solbrun x. Domænet for denne funktion er intervallet (-π / 2, π / 2), et utalligt sæt, og området er sættet med alle reelle tal.

Funktionerne i grundlæggende sætteori kan bruges til at producere flere eksempler på utallige uendelige sæt:

• Hvis EN er en undergruppe af B og EN er utallelig, så er det også B. Dette giver et mere direkte bevis for, at hele sættet med reelle tal er utallige.
• Hvis EN er utallige og B er ethvert sæt, så unionen EN U B er også utallelig.
• Hvis EN er utallige og B er ethvert sæt, derefter det Cartesian produkt EN x B er også utallelig.
• Hvis EN er uendelig (endda tællelig uendelig) så strøm sæt af EN er utallige.

To andre eksempler, der er knyttet til hinanden, er noget overraskende. Ikke hver delmængde af de reelle tal er utallige uendelige (de rationelle tal danner faktisk en tællbar delmængde af realene, der også er tæt). Visse undergrupper er utallige uendelige.

En af disse utallige ubegrænsede undergrupper involverer visse typer decimaludvidelser. Hvis vi vælger to cifre og danner enhver mulig decimaludvidelse med kun disse to cifre, er det resulterende uendelige sæt udallelig.

Et andet sæt er mere kompliceret at konstruere og er også utallelig. Start med det lukkede interval [0,1]. Fjern den midterste tredjedel af dette sæt, hvilket resulterer i [0, 1/3] U [2/3, 1]. Fjern nu den midterste tredjedel af hver af de resterende stykker i sættet. Så (1/9, 2/9) og (7/9, 8/9) fjernes. Vi fortsætter på denne måde. Sættet af punkter, der er tilbage, efter at alle disse intervaller er fjernet, er ikke et interval, men det er utalligt uendeligt. Dette sæt kaldes Cantor-sæt.

Der er uendeligt mange utallige sæt, men ovenstående eksempler er nogle af de mest almindelige mængder.