To-dimensionel kinematik: bevægelse i et fly

Denne artikel beskriver de grundlæggende begreber, der er nødvendige for at analysere bevægelse af genstande i to dimensioner, uden hensyntagen til de kræfter, der forårsager den involverede acceleration. Et eksempel på denne type problemer ville være at kaste en bold eller skyde en kanonkugle. Det forudsætter kendskab til en-dimensionel kinematik, da det udvider de samme koncepter til et to-dimensionelt vektorrum.

Kinematik involverer forskydning, hastighed og acceleration, som alle er vektor mængder der kræver både en størrelse og retning. For at begynde et problem i to-dimensionel kinematik skal du først definere koordinatsystem du bruger. Generelt vil det være i form af en x-akse og a y-ak, orienteret, så bevægelsen er i positiv retning, skønt der kan være nogle omstændigheder, hvor dette ikke er den bedste metode.

I tilfælde, hvor tyngdekraften overvejes, er det sædvanligt at foretage tyngderetningen negativt -y retning. Dette er en konvention, der generelt forenkler problemet, skønt det ville være muligt at udføre beregningerne med en anden retning, hvis du virkelig ønsker det.

Positionsvektoren r er en vektor, der går fra koordinatsystemets oprindelse til et givet punkt i systemet. Ændringen i position (Δr, udtales "Delta r") er forskellen mellem startpunktet (r₁) til slutpunkt (r₂). Vi definerer gennemsnitlig hastighed (v_av) som:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Tager grænsen som Δt nærmer os 0, vi opnår øjeblikkelig hastighedv. I regnestykker er dette derivatet af r med respekt for t, eller dr/dt.

Efterhånden som tidsforskellen reduceres, bevæger start- og slutpunktet sig tættere på hinanden. Siden retningen af r er den samme retning som v, bliver det klart den øjeblikkelige hastighedsvektor på hvert punkt langs stien er tangent til stien.

Det nyttige træk ved vektormængder er, at de kan opdeles i deres komponentvektorer. Derivatet af en vektor er summen af ​​dets komponentderivater, derfor:

v_x = dx/dt
v_y = D y/dt

Størrelsen af ​​hastighedsvektoren er givet af Pythagorean Theorem i form:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Retningen af v er orienteret alfa grader mod uret fra x-komponent, og kan beregnes ud fra følgende ligning:

tan alfa = v_y / v_x

Acceleration er hastighedsændringen over et givet tidsrum. Ligesom analysen ovenfor finder vi ud af, at den er Δv/Δt. Grænsen for dette som Δt fremgangsmåder 0 giver derivatet af v med respekt for t.

Med hensyn til komponenter kan accelerationsvektoren skrives som:

-en_x = dv_x/dt
-en_y = dv_y/dt

eller

-en_x = d²x/dt²
-en_y = d²y/dt²

Størrelse og vinkel (betegnet som beta at skelne fra alfa) af nettaccelerationsvektoren beregnes med komponenter på en måde, der ligner dem for hastighed.

Ofte involverer todimensionel kinematik brud på de relevante vektorer i deres x- og y-komponenter, derefter analysere hver af komponenterne, som om de var en-dimensionelle tilfælde. Når denne analyse er afsluttet, kombineres komponenterne i hastighed og / eller acceleration derefter sammen igen for at opnå den resulterende to-dimensionelle hastighed og / eller accelerationsvektorer.

Ovenstående ligninger kan alle udvides til bevægelse i tre dimensioner ved at tilføje en z-komponent til analysen. Dette er generelt temmelig intuitivt, skønt der skal udvises en vis omhu for at sikre, at dette gøres i det rigtige format, især med hensyn til beregning af vektorens orienteringsvinkel.

Redigeret af Anne Marie Helmenstine, ph.d.