En ting, der er fantastisk ved matematik, er den måde, som tilsyneladende ikke-relaterede områder af emnet mødes på overraskende måder. Et eksempel på dette er anvendelsen af en idé fra beregning til klokke kurve. Et værktøj i regnestykket kendt som derivatet bruges til at besvare følgende spørgsmål. Hvor er bøjningspunktene på grafen for sandsynlighedsdensitetsfunktionen for det normale fordeling?
Kurver har en række funktioner, der kan klassificeres og kategoriseres. Et element, der vedrører kurver, som vi kan overveje, er, om grafen for en funktion øges eller falder. En anden funktion vedrører noget kendt som konkavitet. Dette kan groft tænkes som den retning, som en del af kurven vender mod. Mere formelt konkavitet er retning af krumning.
En del af en kurve siges at være konkav, hvis den er formet som bogstavet U. En del af en kurve er konkave ned, hvis den er formet som følgende ∩. Det er let at huske, hvordan dette ser ud, hvis vi tænker på en hule, der åbner enten opad til konkave op eller nedad for konkave ned. Et bøjningspunkt er, hvor en kurve ændrer konkaviteten. Med andre ord er det et punkt, hvor en kurve går fra konkave op til konkave ned, eller omvendt.
I beregningen er derivatet et værktøj, der bruges på forskellige måder. Mens den mest kendte anvendelse af derivatet er at bestemme hældningen af en linie tangent til en kurve på et givet punkt, er der andre anvendelser. Et af disse applikationer har at gøre med at finde bøjningspunkter i grafen for en funktion.
Hvis grafen af y = f (x) har et bøjningspunkt kl x = a, derefter den anden derivat af f evalueret kl -en er nul. Vi skriver dette i matematisk notation som f '' (a) = 0. Hvis det andet derivat af en funktion er nul på et tidspunkt, betyder det ikke automatisk, at vi har fundet et bøjningspunkt. Vi kan dog se efter potentielle bøjningspunkter ved at se, hvor det andet derivat er nul. Vi vil bruge denne metode til at bestemme placeringen af bøjningspunktene for den normale fordeling.
Fra dette er det let at se, at bøjningspunkterne forekommer hvor x = μ ± σ. Med andre ord er bøjningspunktene placeret et standardafvigelse over gennemsnittet og et standardafvigelse under middelværdien.