Sandsynligheder og løgner terninger

Mange tilfældighedsspil kan analyseres vha. Sandsynlighedens matematik. I denne artikel skal vi undersøge forskellige aspekter af spillet kaldet Liar's Dice. Når vi har beskrevet dette spil, beregner vi sandsynligheder i forbindelse med det.

Spillet med Liar's Dice er faktisk en familie af spil, der involverer bluffing og bedrag. Der er en række varianter af dette spil, og det går adskillige forskellige navne som Pirates Dice, Deception og Dudo. En version af dette spil blev vist i filmen Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

I den version af spillet, som vi vil undersøge, har hver spiller en kop og et sæt med det samme antal terninger. Terningerne er standard, seks-sidet terninger, der er nummereret fra en til seks. Alle ruller deres terninger og holder dem dækket af koppen. På det passende tidspunkt ser en spiller på sit sæt terninger og holder dem skjult for alle andre. Spillet er designet, så hver spiller har perfekt viden om sit eget sæt terninger, men ikke har nogen viden om de andre terninger, der er blevet rullet.

Når alle har haft lejlighed til at se på deres terninger, der blev rullet, begynder bud. På hver tur har en spiller to valg: give et højere bud eller kalde det forrige bud en løgn. Bud kan laves højere ved at byde en højere terningværdi fra en til seks eller ved at byde et større antal af den samme terningværdi.

F.eks. Kunne et bud på "Tre to'er" øges ved at angive "Fire to." Det kunne også øges ved at sige "Tre trekanter." Generelt kan hverken antallet af terninger eller værdierne af terningerne falde.

Da de fleste af terningerne er skjult for synet, er det vigtigt at vide, hvordan man beregner nogle sandsynligheder. Ved at vide dette er det lettere at se, hvad bud sandsynligvis er sandt, og hvad der sandsynligvis vil være løgne.

Den første overvejelse er at spørge: "Hvor mange terninger af samme art ville vi forvente?" Hvis vi for eksempel ruller fem terninger, hvor mange af disse ville vi forvente at være en to? Svaret på dette spørgsmål bruger ideen om forventet værdi.

Den forventede værdi af en tilfældig variabel er sandsynligheden for en bestemt værdi ganget med denne værdi.

Sandsynligheden for, at den første dør er en to, er 1/6. Da terningerne er uafhængige af hinanden, er sandsynligheden for, at nogen af ​​dem er et to, 1/6. Dette betyder, at det forventede antal af to rullede er 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Der er selvfølgelig ikke noget særligt ved resultatet af to. Der er heller ikke noget specielt ved antallet af terninger, vi har overvejet. Hvis vi rullede n terninger, så er det forventede antal af et af de seks mulige resultater n/6. Dette nummer er godt at vide, fordi det giver os en basislinje, vi skal bruge, når vi sætter spørgsmålstegn ved bud fra andre.

For eksempel, hvis vi spiller løgner terninger med seks terninger, er den forventede værdi af en af ​​værdierne 1 til 6 6/6 = 1. Dette betyder, at vi skal være skeptiske, hvis nogen byder mere end en af ​​nogen værdi. I det lange løb vil vi gennemsnit en af ​​hver af de mulige værdier.

Antag, at vi ruller fem terninger, og vi vil finde sandsynligheden for at rulle to trekanter. Sandsynligheden for, at en matrice er en tre, er 1/6. Sandsynligheden for, at en matrice ikke er tre, er 5/6. Ruller af disse terninger er uafhængige begivenheder, og derfor multiplicerer vi sandsynlighederne sammen ved hjælp af multiplikationsregel.

Sandsynligheden for, at de første to terninger er trekanter, og de andre terninger ikke er trekanter, gives af følgende produkt:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

De første to terninger, der er treere, er kun en mulighed. Terningerne, der er tre, kan være enhver af de fem terninger, som vi ruller. Vi betegner en matrice, der ikke er en tre ved en *. Følgende er mulige måder at have to trekanter ud af fem ruller på:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vi ser, at der er ti måder at rulle nøjagtigt to trekanter ud af fem terninger.

Vi multiplicerer nu vores sandsynlighed ovenfor med de 10 måder, hvorpå vi kan have denne konfiguration af terninger. Resultatet er 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Dette er cirka 16%.

Vi generaliserer nu ovenstående eksempel. Vi overvejer sandsynligheden for at rulle n terninger og opnå nøjagtigt k der har en bestemt værdi.

Ligesom før er sandsynligheden for at rulle det antal, vi ønsker, 1/6. Sandsynligheden for ikke at rulle dette antal angives af komplementregel som 5/6. Vi vil have k af vores terninger for at være det valgte nummer. Det betyder at n - k er et andet nummer end det, vi ønsker. Sandsynligheden for den første k terninger er et bestemt antal med de andre terninger, ikke dette tal er:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Det ville være kedeligt, for ikke at nævne tidskrævende, at liste alle mulige måder at rulle en bestemt konfiguration af terninger på. Derfor er det bedre at bruge vores tælleprincipper. Gennem disse strategier ser vi, at vi tæller kombinationer.

Der er C (n, k) måder at rulle på k af en bestemt slags terninger ud af n terninger. Dette nummer er angivet med formlen n!/(k!(n - k)!)

At sammensætte alt sammen, ser vi det, når vi ruller n terninger, sandsynligheden for, at nøjagtigt k af dem er et bestemt tal angivet med formlen:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Der er en anden måde at overveje denne type problemer. Dette involverer binomial distribution med sandsynlighed for succes givet af p = 1/6. Formlen til nøjagtigt k hvoraf disse terninger er et vist antal, er kendt som sandsynlighedsmassefunktionen for binomialen fordeling.

En anden situation, som vi bør overveje, er sandsynligheden for at rulle mindst et vist antal af en bestemt værdi. Når vi for eksempel ruller fem terninger, hvad er sandsynligheden for at rulle mindst tre? Vi kunne rulle tre, fire eller fem. For at bestemme sandsynligheden for, at vi vil finde, tilføjer vi tre sandsynligheder.

Nedenfor har vi en tabel over sandsynligheder for at opnå nøjagtigt k af en bestemt værdi, når vi ruller fem terninger.

Dernæst overvejer vi følgende tabel. Det giver sandsynligheden for at rulle mindst et bestemt antal af en værdi, når vi ruller i alt fem terninger. Vi ser, at selvom det meget sandsynligt er, at det ruller mindst en 2, er det ikke så sandsynligt, at det ruller mindst fire 2'er.