Prøveudtagning med eller uden udskiftning

Statistisk prøveudtagning kan gøres på en række forskellige måder. Ud over den type samplingsmetode, som vi bruger, er der et andet spørgsmål, der vedrører, hvad der specifikt sker med et individ, som vi tilfældigt har valgt. Dette spørgsmål, der opstår, når sampling er: "Når vi har valgt en person og registreret måling af attribut, vi studerer, hvad skal vi gøre med individet?"

Der er to muligheder:

• Vi kan erstatte den enkelte tilbage i den pulje, som vi prøver fra.
• Vi kan vælge at ikke erstatte den enkelte.

Vi kan meget let se, at disse fører til to forskellige situationer. I den første mulighed giver udskiftning muligheden for, at personen vælges tilfældigt en anden gang. For den anden mulighed, hvis vi arbejder uden udskiftning, er det umuligt at vælge den samme person to gange. Vi vil se, at denne forskel vil påvirke beregningen af ​​sandsynligheder i forbindelse med disse prøver.

For at se, hvordan vi håndterer udskiftning, påvirker beregningen af ​​sandsynligheder, skal du overveje følgende eksempelspørgsmål. Hvad er sandsynligheden for at trække to ess fra a

Dette spørgsmål er tvetydigt. Hvad sker der, når vi tegner det første kort? Sætter vi det tilbage i dækket, eller lader vi det være ude?

Vi starter med at beregne sandsynligheden med udskiftning. Der er fire esser og 52 kort i alt, så sandsynligheden for at trække et ess er 4/52. Hvis vi udskifter dette kort og tegner igen, er sandsynligheden igen 4/52. Disse begivenheder er uafhængige, så vi multiplicerer sandsynlighederne (4/52) x (4/52) = 1/169, eller cirka 0,592%.

Nu vil vi sammenligne dette med den samme situation med den undtagelse, at vi ikke udskifter kortene. Sandsynligheden for at tegne et ess ved den første trækning er stadig 4/52. For det andet kort antager vi, at der allerede er trukket et ess. Vi skal nu beregne en betinget sandsynlighed. Med andre ord er vi nødt til at vide, hvad der er sandsynligheden for at tegne et andet ess, i betragtning af at det første kort også er et ess.

Der er nu tre esser tilbage af i alt 51 kort. Så den betingede sandsynlighed for et andet ess efter tegning af et ess er 3/51. Sandsynligheden for at tegne to ess uden udskiftning er (4/52) x (3/51) = 1/221, eller ca. 0,425%.

Vi ser direkte fra problemet ovenfor, at det, vi vælger at gøre med udskiftning, har betydning for sandsynlighedsværdierne. Det kan ændre disse værdier markant.

Der er nogle situationer, hvor prøveudtagning med eller uden udskiftning ikke ændrer nogen sandsynlighed i væsentlig grad. Antag, at vi tilfældigt vælger to mennesker fra en by med en befolkning på 50.000, hvoraf 30.000 af disse mennesker er kvinder.

Hvis vi prøver med udskiftning, gives sandsynligheden for at vælge en kvinde på den første markering med 30000/50000 = 60%. Sandsynligheden for en kvindelig ved det andet valg er stadig 60%. Sandsynligheden for, at begge mennesker er kvinder, er 0,6 x 0,6 = 0,36.

Hvis vi prøver uden udskiftning, påvirkes den første sandsynlighed ikke. Den anden sandsynlighed er nu 29999/49999 = 0.5999919998..., hvilket er ekstremt tæt på 60%. Sandsynligheden for, at begge er kvinder, er 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Sandsynlighederne er teknisk forskellige, men de er tæt nok til at være næsten ikke skelne. Af denne grund behandler vi mange gange, selvom vi prøver uden udskiftning, som om de er uafhængige af de andre individer i prøven.

Der er andre tilfælde, hvor vi er nødt til at overveje, om vi skal prøve med eller uden udskiftning. Eksempel på dette er bootstrapping. Denne statistiske teknik falder ind under overskriften på en resampling-teknik.

I bootstrapping starter vi med en statistisk stikprøve af en befolkning. Vi bruger derefter computersoftware til at beregne bootstrap-prøver. Med andre ord, computeren resamples med erstatning fra den oprindelige prøve.